●同样可分别求出垂直于vy轴及vz轴的无 穷大薄平板中代表点数dN（vy）及 dN（vZ）,则
•
dN（vy）/N = f(vy)dvy • dN（vz）/N = f(vz)dvz 分别表示y及z方向速度分量的概率分布函
数。
●根据处于平衡态的气体的分子混沌性 假设，分子速度没有择优取向，故
f（vx）、f（vy）、f（vz）应具有相同形
• ●分子处于速度空问任一微小范围dvxdvydvz内
的概率是
• f（vx ，vy，vz）与dvxdvydvz的乘积。
§2.4.2 麦克斯韦速度分布 （Maxwell velocity distribution）
麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气 体分子的速度分布，这一分布可表示为
• f（vx ，vy，vz）dvxdvydvz=
以从原点向代表点所引矢量来表示分子 速度方向和大小的坐标称为速度空间。
●速度空间是人们想像中的空间坐标，所 描述的不是分子的空间位置，而是速度 的大小与方向。
。
二、速度空间中代表点的分布
• ●若把某一瞬时所有分子所对应的速度 矢量代表点都标在速度空间中，就构成 代表点在速度空间中的一种分布图形， 如图所示
2m kT 3/2ex p m (vx22 k vy 2T vz 2) dxd vyd vzv
•因为f（vx ，vy，vz)=
•
f(vx)dvxdvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz
•麦克斯韦速度分布有
f(vi)div 2m kT 1/2ex pm 2ki2T v div
其中i 可分别代表x、y、z。
• ● vz任欲意求的分分子子速数度d的N(xv分x)量, 在vx 到vx+dvx内而vy、、 • 这就是速度空间中垂直于x 轴的无穷大薄平板中
的代表点数，显然可对vy、vz积分后求出：
d( v N x ) N ( v x ) f d x v f( v y ) d y v f( v z) d z
●把分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、 vy、vz作直角坐标图，
把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原 点O上。 ●在平移时，矢量的大小、方向都不变。 ●平移后，仅以矢量的箭头端点的点来表示这一 矢量，而把矢量符号抹去。 ●这样的点称为代表点。
如图中的P点所示。
以直角坐标表示的速度空间
●以速度分量vx、vy、vz为 就是所要求的概率
• ●因为vx ，vy，vz相互独立，故
•
dN（vx、vy、vz）/N
•
=f(vx)dvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz
• ●显然，速度分布概率密度f（vx ，vy，vz） 是分子分别按速度的x、y、z方向分量分布的
概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘积。
最后要问，分子速度分量处于
vx
到
vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz范围内的
概率是多少？
•●只需在图中再作一
垂 直 于 vz 轴 的 、 厚 度 为dvz的无穷大薄平板
平板与柱体相交截得一体积为dvxdvydvz的小
立方体，计算出在小立方体中的代表点数
• dN（vx、vy、vz）
条中。
• ●因为分子落在垂直于dvx轴的平板内的概率 是f（vx）dvx，分子落在垂直于vy轴的平板内 的概率是f（vy）dvy。
• ●由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，
• 分子落在方柱体内的概率为方柱体内代表点数
dN（vx，vy）与总分子数N的比值
•（
3
）
f(vx)dxv f(vy)dy v d( N v N x,vy)
式。
速度空间中一根截面积为dvx dvy的无穷长
的方条中的概率
（ 2 ） 进 一 步 问 ， 分 子 速 率 介 于 vx 到 vx+dvx，vy 到vy+dvy，而vz在任意的范围 内的分子数 dN（vx，vy）是多少？
●显然这些分子的代表点都落在一根平行
于vz轴、截面积为dvx dvy的无穷长的方
分量如何，只要速
度 x 分 量 在 vx 到 vx+dvx 范 围 内 ， 则
所有这些分子的代
表点都落在此很薄
的无穷 大平板中.
• ●若设此平板中代表点数为dN（vx）， 则dN（vx）/N 表示分子的速度处于vx 到vx+dvx而vy、vz为任意值范围内的概率。
• ●显然这一概率与板的厚度dvx成比例。 • ●并有dN（vx）/N = f(vx)dvx • 称分子x方向速度分量概率分布函数
2.4麦克斯韦速度分布
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§2.4.1速度空间 • 一、速度矢量、速度空间中的代表点 • （1 ) 速度矢量 • ●要描述气体分子的速度大小和方向，
需引入速度矢量这一概念，
• 速度矢量的方向和大小恰与此瞬时该分 子速度的大小、方向一致。
• ●一个分子仅有一个速度矢量。
（1) 速度空间中的代表点
到vz+dvz区间内 划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。
● 数 出 在 这 微 分 元 中 的 代 表 点 的 数 目 dN（vx、vy、vz），
并把
f(vx,vy,vz)d N N (v d x xd ,v vv y yd ,vz v z)
称为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度，
速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似：
●前面已指出，在图2.2（a）中，靶点位于x 到 x+dx，y 到y+dy范围内的概率是以
f（x，y）dxdy来表示的，其中dxdy为这一区域 大小，f（x，y）是黑点分布的概率密度。
（1）速度空间中小立方体dvxdvydvz中的概率
●在三维速度空间中，在vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz
●它表示在dvxdvydvz小体积元
中代表点的相对密集程度。
我们可以这样来求出
dN（vx、vy、vz）
（2）速度空间中厚为dvx 无限大平板中的概率
首先问，在N个分子中速度 x分量落在vx 到
vx+dvx范围内而vy ,vz 在任意的范围内的分
子数 dN（vx）是多少？, 在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为 dvx的无穷大平板，如图所示. ● 不 管 速 度 的 y、z
N (2 m k)1 T /2ex 2 m k p x)T d ( v xv (2 m k)1 T /2