* ij
* ij
即特征应变。
其中 S ijkl 为Eshelby张量； 为因夹杂的出现而 0 形成的干扰应变； kl 为无限远处的均匀应变；
c kl
S 0 0 c * 0 c Cijkl ( kl kl kl ) Cijkl ( kl kl )
* kl ：特征应变
; C
0 kl 0 kl
0 1 0 ijkl ij

而实际的应力应变场还应该加上由夹杂引 起的扰动应力和扰动应变，即：
ij
I ij
ij
0 ij
则夹杂中的应力场可表示为
I 0 ) ij Cijkl ( kl kl
3
（为θ角的函数）
* ij
3、随机分布短纤维复合材料： * * 对不同的θ角，按前述方法求得其 ij ij ( ) 然后对其求对于θ得平均值： 2 1 2 * * ij d ij ( )d 0 2 0 * * 0 在 11 作用下可求得 11 和 22 ，进而求得 11 和 22 。最后可得：
0 T ( s ) 2）给定均匀应力边界条件 i ij n j 1 v 0 ij ij dv ij v 0
1 v 而 ij 0 ij dv v * 则由 ij Cijkl kl ，只需求得 ij ，即可求得
* Cijkl
此时，复合材料的应变能也为：
1、修正复合法则（修正混合定律）
E L L E f V f E mVm l tanh( ) 2 1 L l 2
其中 L 表示纤维长度有效因子。
2 G m E r 2 ln( R ) f f r f
22 12 11
2、斜向纤维情况： 先在 1 2 3坐标系下求得：
1 1

3
* ij

（方法同前）
然后利用坐标变换求得
2
2
22 11 仍利用 E1 和 12 11 11
求有效模量，注意此时的模 量为θ角的函数。
1 0 ij ij dv ij v v 1 v 而 ij v 0 ij dv
ij C
其中 C
* ijkl
* ijkl kl
为复合材料的有效模量。
1 1 * 其应变能为： U v ij ij dv Cijkl ij kl v 2 2
§8-3 有效模量的材料力学半经验解法
一、长纤维复合材料
（一）纵向有效模量 E1
采用平面假设，在P力作用下，对RVE有：
l 1 f m （下标f、m表示纤维和基体） l
vf 1 1 ij ij dv v v v vf ( f )V f ( m )Vm
1 v ij ij dv v 0
则等效体的本构方程（即应力-应变关系）为：
ij C
总体模量）
* ijkl kl
* Cijkl 定义为复合材料的有效模量（或宏观模量，
三、有效模量理论
1、边界条件：（不能随意！）
0 u ( s ) ①均匀应变边界条件： i ij x j
1 2
其中 Gm 为基体剪切模量，rf 为纤维半经，R为 纤维间距，l为纤维长度，R与纤维的排列方式和 V f 有关。
ET（短） ET (长)
2、Halpin-Tsai方程
l E L 1 2 d LV f Em 1 LV f E 1 2 T V f T 1 T V f Em
Ef Ef 1 1 Em Em L ; T Ef Ef l 2 2 Em d Em
2l 此时，对L取： 对T取： 2 d l E 上式表明 T 与纤维长比 无关，可见单向 d
短纤维复合材料的横向模量与连续纤维复合 材料的相同。
（二）随机分布短纤维复合材料 1、修正混合律：
Vf Vm 1 பைடு நூலகம் E2 E f 2 Em
（倒数混合律）
可通过 G12 和 E 2 的计算公式可反算 G f 12 和 Ef 2 。
（五）Halpin-Tsai方程 单向纤维增强的单层的五个有效模量分 别由下式计算：
E1 E f V f EmVm
21 f V f mVm
vm 1 v f ijdv v vm

vm
ij dv
所以有 1 f V f mVm 而 利用
1 E11 , f E f f , m Em m
1 f m
E1 E f V f EmVm
称为纵向有效模量的混合律。
（二）纵向泊松比 21
纤维体积分数：
Vf
vf
vf v
—纤维总体积； v —复合材料体积 注意： 只有当所讨论问题的最小尺寸远大于代表性体 积单元时，复合材料的应力应变等才有意义。
二、复合材料的应力、应变及有效模量
（复合材料）
（均匀等效体）
按体积平均，定义复合材料的应力、应变为： 1 v ij ij dv 平均应力 v 0 平均应变
a a E2 2 , log G12 1.73 log b b 另外， * 式还可以用于沿直线排列的短纤维增 强单层的纵向和横向有效模量的计算：
计算E1时，取： E
1
a 2 b
计算E2时，取： E 2
2
二、短纤维复合材料
（一）单向短纤维复合材料
只讨论纵向和横向模量（E L , ET ）。
RVE的纵向应变关系式：
2 f 2V f m2Vm
两边同时除以 1 ，可得： 21 f V f mVm （三）纵横（面内）剪切模量 G12 在剪应力作用下 ， RVE 的剪 应变有如下关系：
12 f V f mVm
以 12
12
0 ②均匀应力边界条件： Ti (s) ij nj
2、可证明的两个特性： 0 ①在给定均匀应变边界下，有： ij ij
0 ②在给定均匀应力边界下，有： ij ij
证明可见《复合材料力学》（周履等）P223。
3、有效模量理论
0 u ( s ) 1）给定均匀应变边界条件 i ij x j
宏观的，平 均意义的量
微观的，涉及 组分属性和微 结构分布
模量、强度
组分的含量、 形状、结合 状态等
细观力学建 立二者之间 的关联
§8-2 有效模量理论
一、有效模量理论
1、宏观均匀、代表性体积单元 复合材料中的增强体 的几何分布可以是规 则的（如图），也可 以是不规则的。
总体来看，复合材料是宏观均匀的，因此 研究其某些性能时，只须取其一代表性体积单 元（representative volume element）来研究即 可代表总体，见图。 RVE的要求： 1 、 RVE 的尺寸 << 整体 尺寸，则宏观可看成一 点； 2 、 RVE 的 尺 寸 > 纤 维 直径； 3 、 RVE 的纤维体积分数 = 复合材料的纤维体积 分数。
M 1 V f （M表示 E2 , G12或 23 ） * M m 1 V f Mf 1 Mm 其中： Mf Mm
：纤维增强效果的一种度量参数，依赖于
相几何和载荷条件。
对圆截面纤维，方形排列，中等 V f 值时，
E 2
2
G 1
12
对矩形（a
b）截面纤维，
ERandom Co L E f V f Em (1 V f )
Co 即为位向因子，在0.375~0.5之间，材料
为面内各向同性。
2、基于halpin-Tsai的经验公式：
E Random 3 5 E L ET 8 8
§8-4 有效模量的其他力学模型解
一、复合圆柱模型
a / b const V f
G12
, f
f
Gf
, m
m
Gm
代入上式，
并假设有 12 f m ，可得：
V f Vm 1 G12 G f Gm
（四）横向有效模量 E 2 设 2 m2 f 2
（倒数混合律）
而由平均值关系有： 2 f V f mVm
2 E2 2 , m2 Em2 m2 , f 2 E f 2 f 2
利 用 在 r 处 施加纯剪均匀 应力边界条件 下，两者（ a） 和（b）的应变 能相等来确定 G23 。 具体见《复合材料力学》（周履等）P250-256！
5、 G23 可由三相模型求得：
二、Eshelby夹杂模型
1、Eshelby等效夹杂理论

Pij
D-
* kl
同质等效夹杂 异质夹杂 设整个系统在无穷远边界处受均匀应力边 界条件，如没有夹杂，则D内的应力应变为
) C ( kl ) C ( kl
I ijkl 0 kl 0 ijkl 0 kl * kl
将（ * ）代入该式则可求得特征应变，进 而求得夹杂内外的弹性场。
2、单向短纤维复合材料的弹性性能预测 设沿1方向作用均匀应力 求 E1 和 12 因为材料内部有：
1 1 * U ij ij dv Cijkl ij kl v 2 v 2
3）有效模量的严格理论解 只有按上述两种均匀边界条件算得的有效 弹性模量一致，并可由RVE的解向邻近单元连 续拓展到整体时，所得的有效弹性模量才是严 格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹 性模量才能通过体积平均应力、应变进行计算； 或按应变能计算。