问题不能得以正确求解.
1 1
(3)x－y＝x
2
－ y 2
2
2
1
1 1 1
＝ x ＋y x -y 2
2 2 2
(10 分)
易忽视条件x<y， 得出错误答案.
1
1
1
＝3 2×(－ 6)＝－3×2 2 ×2 2 ×3 2
＝－6 3.(12 分)
此处巧妙利用了12 结论使问题得以解决.
是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．
[活学活用] 将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)
1 a
1a(a>0)；
(2)
1 (x>0)；
3
x·5 x22
(3) ab3 ab5(a>0，b>0)．
解：(1)原式＝
11 aa
1 2
＝
1 a
3 2
＝1a
3 4
＝a
3 4
.
(2)原式＝ 1 ＝ 1 ＝ 1
＝yx2·xy
1 2
1 2
＝y
5 4
.
[类题通法]
根式与分数指数幂的互化技巧
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式
与分数指数幂的转化式子：a
m n
＝
n
am和
a
m n
＝
1
m
＝
1
，其中字
a n n am
母 a 要使式子有意义．
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的 形式表示．
[活学活用]
计算下列各式的值：
－1
(1)0.027 3
－－17－2＋279
1 2
－
2－10；
8 －1 (2)125 3
－－350＋160.75＋0.25
1 2
；
(3)14－2＋
3＋ 3－
22－1.030×－ 263.
解：(1)原式＝1
根式与分数指数幂的互化
[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x) 2 (x>0)
B.6
1
y2＝y 3
(y<0)
C．x
3 4
＝
4
1x3(x>0)
D．x－13 ＝－3 x(x≠0)
(2)用分数指数幂的形式表示下列各式．
①a2· a(a>0)；
② a a(a>0)；
1
11
1
x 2 ＋y 2 x 2 －y 2 求解
1
1
x 2 ＋y 2 2＝x＋y＋2 xy
↓
1
1
x 2 －y 2 2＝x＋y－2 xy
↓
1
1
1
1
(x－y＝x 2 2－y 2 2＝x 2 ＋y 2 2＝
1
11
1
x 2 ＋y 2 x 2 －y 2
[规范解答]
[名师批注]
(1)x
1 2
＋y
1 2
2＝x＋y＋2
[活学活用]
已知 a＋a－1＝5，求下列各式的值；
(1)a2＋a－2；
(2)a
1 2
－a
1 2
.
解：(1)法一：由 a＋a－1＝5 两边平方得：
a2＋2aa－1＋a－2＝25，
即：a2＋a－2＝23；
法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23；
1 2
－0.010.5；
(2)0.064
1 3
－－780＋[(－2)3]
4 3
＋16－0.75；
1 (3)4
1 2·
4ab－13 1 (a>0，b>0)．
0.1－2a3b－3 2
[解]
(1)原式＝1＋14×49
1 2
－1100
1 2
＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2176.
③4
b
2 3
2 3
(b>0)；
④
y2 x
x3 3 y
xy63(x>0，y>0)．
1
(1)[解析] － x＝－x 2 (x>0)；
6
1
y2＝[(y)2] 6
1
＝－y 3
(y<0)；
x
3 4
＝(x－3)
1 4
＝
4
1x3(x>0)；
x
1 3
＝1x
1 3
＝
3
1x(x≠0)．
[答案] C
1
1
5
(2)[解] ①a2· a＝a2·a 2 ＝a2＋ 2 ＝a 2 .
1
1
xy＝18，(2 分) 由x与x 2 ，y与y 2 都具有平方
1
1
∴x 2 ＋y 2 ＝3 2.(4 分)
关系，故可先求x
1 2
＋y
1 2
， 2
1
1
(2)x
1 2
－y
1 2
2＝x＋y－2
xy＝6，(6 分)
然后求 x 2 ＋y 2 的值，解题 时常因找不到此关系而使
1
1
又 x<y，∴x 2 －y 2 ＝－ 6.(8 分)
有理指数幂的运算性质 [导入新知]
有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ ar·br (a>0，b>0，r∈Q)．
[化解疑难] 有理指数幂的运算性质的理解与巧记 (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性 质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘， 底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘； ③积的幂等于幂的积． (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循： 乘相加，除相减，幂相乘．
(2)∵(a
1 2
－a
1 2
)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
∴|a
1 2
－a
1 2
|＝
3.∴a
1 2
－a
1 2
＝±
3.
[随堂即时演练] 1．若 2<a<3，化简 2－a2＋4 3－a4的结果是 ( )
A．5－2a
B．2a－5
C．1
D．－1
解析：由于 2<a<3，
所以 2－a<0,3－a>0，
所以原式＝a－2＋3－a＝1.
分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
an＝
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
1
_m
a n＝
1
m
＝
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
an
(3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 无意义 ．
[化解疑难]
对分数指数幂的理解
1 3
+3－2 3
b
43－2－
_
1 4
2 =3a
8 3
b
5 2
注意符号不能弄错．
答案：A
3．若 10x＝3,10y＝4，则 102x－y＝________.
解析：∵10x＝3，∴102x＝9，
∴102x－y＝11002yx＝94. 答案：94
4．化简3 a a的结果是________．
解析：
3 a
2.1
2.1.1
第
二
第二
章
课时
指数幂 及运算
1 理解教 材新知
2 突破常 考题型
3 跨越高 分障碍 4 应用落 实体验
知识点一 知识点二 题型一 题型二
随堂即时演练 课时达标检测
2.1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算 第二课时 指数幂及运算
分数指数幂的意义
[提出问题]
问题 1：判断下列运算是否正确．
13
(3)原式＝4120·402
·a
3 2
－3
·a 2
－3
·b 2
·b
3 2
＝245a0b0＝245.
[类题通法] 利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算．
a＝a
a ＝ a·a ＝ a ＝a . 1 3
11 31
2
3
2
3
1 2
1
答案：a 2
5．计算(或化简)下列各式：
－2
(1)4 2＋1·23－2 2·64 3 ；
11
(2)
a－b
1
1
－a＋b1－2a12
·b
2
.
a 2 ＋b 2
a 2 －b 2
－2
解：(1)原式＝(22) 2＋1·23－2 2·(26) 3
(1)
5
a10＝5
10
a25＝a2＝a 5 (a>0)；
(2)3
a12＝3
12
a43＝a4＝a 3 (a& b2，4 c5 写成下列形式：
3
4 a3＝a 4 (a>0)；