当 ＝0时，为零阻尼响应，具有频率为 n 的不衰减
（等幅）振荡。
阻尼比和超调量的关系曲线
d n 1 2
在 一定的情况下，n
越大，振荡频率 d也越
高，响应平稳性也越差。
结论：对于欠阻尼二阶系
统而言， 大， n 小，系 统响应的平稳性好。
• 快速性
从图中看出，对于5％误
1
1t
e T1
1
1t
e T2 , (t 0)
T2 / T1 1
T1 / T2 1
过阻尼系统单位阶 与一阶系统阶跃
跃响应
响应的比较
c(t)
一阶系统响应
1
c(t)
二阶过阻尼系统
0
t
t
0
过阻尼二阶系统分析
• 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对 值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚 轴近，衰减速度慢；（指数关系）
欠阻尼二阶系统单位响应系统的输出
c(s)

s2

n2 2ns
n2

1 s
1 s n
n
s (s n )2 d2 (s n )2 t
1 2
(sin dt)]
c(t) 1
s1,s2完全取决于 ，n两个参数。
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
c(t) A0 A1es1t A2es2t
式中A0 , A1, A2 为由r(t)和初始条件确定的待定的 系数。
➢典型二阶系统的暂态特性
①特征根分析— 0 1（欠阻尼）
s1,2 ns jn 1 2
此时s1,s2为 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
⑥特征根分析—（负阻尼） 1
s1,2 n n 2 1
此时s1,s2为 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
➢二阶系统单位阶跃响应
1. 过阻尼 ( 1)二阶系统的单位阶跃响应
由
C(s) R(s)
• 衰减项前的系数一个大，一个小；
• 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调，但又不同于一阶系统；
• 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 c(t)
h(t) 1
1
1t
e T1
1
1t
e T2 , (t 0)

s2

n2 2n s
n2
得
C(s)
n2
1
1
1
(s s1)(s s2) s (T1s 1)(T2s 1) s
s1 n n 2 1 1/ T1
s2 n n 2 1 1/ T2
取C(s)拉氏反变换得：
h(t) 1
此时s1,s2为 一对相等的 负实根。
s1=s2=-n
④特征根分析—（无阻尼） 0
s1,2 n n 2 1 jn
此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。
S1,2= jn
⑤特征根分析—（负阻尼）1 0
s1,2 n jn 1 2
22 nn
ss((ss 22nn))
C(s)
二阶系统的传递函数
开环传递函数：
G(s) n2 s(s 2n )
闭环传递函数：
C(s) R(s)

s2

n2 2n s
n2
二阶系统的特征方程为
s2 2ns n2 0
解方程求得特征根：
s1,2 n n 2 1
1
1 2
ent
sin(d t
arccos )
欠阻尼二阶系统输出分析
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分 量和暂态分量组成。稳态分量值等于1， 暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。
右图为 二阶系 统单位 阶跃响 应的通 用曲线
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(d t
arccos )
根据右图分析系统的结
构参数 、n 对阶跃
响应的影响
• 平稳性（％）
暂态分量的振幅为：A ent
1 2
振荡角频率为：d n 1 2
结论： 越大，ωd越小，幅值也越小，响应的 振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，
越小， ωd 越大，振荡越严重，平稳性越差。
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
d 2c(t) dt 2

2n
dc(t) dt
n2c(t)

n2 r (t )
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
差带，当 0.707时，调
节时间最短，即快速性最 好。同时，其超调量<5％， 平稳性也较好，故称
0.707 为最佳阻尼比。
总结： n 越大，调节时
间 ts 越短；当 一定时，n
越大，快速性越好。
• 稳态精度
h(t) 1
T2 / T1 1
T1 / T2 1
t
0
c(t)
过阻尼二阶系统阶 跃响应指标分析
t
1.误差ess

lim[r (t )
t

c(t)]
0
0
2.响应没有振荡％ 0
对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 ts，
它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快
速性的一个方面，但确定 ts 的表达式是很困难的，
一般取相对量 ts / T1 及T1 / T2 经计算机计算后制成曲线 或表格。
2.欠阻尼 (0 1)二阶系统的单位阶跃响应
C(s) R(s)

s2

n2 2ns
n2
s1,2 n jn 1 2
jd
n为根的实部的模值；
d n 1 2为阻尼振荡角频率
此时s1,s2为 一对共轭复 根，且位于 复平面的左 半部。
②特征根分析—（过阻尼） 1
s1,2 n n 2 1
此时s1,s2 为两个负 实根，且 位于复平 面的负实 轴上。
③特征根分析—（临界阻尼） 1
s1,2 n n 2 1 n