1.4极限的性质与四则运算法则第四节极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课：一、函数极限的性质定理1：（保号性）设«Skip Record If...»，（i）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
（ii）若«Skip Record If...»，必有«Skip Record If...»。
证明：（i）先证«Skip Record If...»的情形。
取«Skip Record If...»，由定义，对此«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»。
当«Skip Record If...»时，取«Skip Record If...»，同理得证。
（ii）(反证法)若«Skip Record If...»，由(i)«Skip Record If...»矛盾，所以«Skip Record If...»。
当«Skip Record If...»时，类似可证。
注：(i)中的“«Skip Record If...»”，“«Skip Record If...»”不能改为“«Skip Record If...»”，“«Skip Record If...»”。
在(ii)中，若«Skip Record If...»，未必有«Skip Record If...»。
二、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»存在，且«Skip Record If...»。
证明：只证«Skip Record If...»，过程为«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip RecordIf...»，对此«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，当«SkipRecord If...»时，有«Skip Record If...»，取«Skip RecordIf...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»存在，且«Skip Record If...»。
证明：因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»均为无穷小）«Skip Record If...»，记«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为无穷小，«Skip Record If...»。
推论1：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为常数）。
推论2：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为正整数）。
定理3：设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»。
证明：设«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为无穷小），考虑差：«Skip Record If...»其分子«Skip Record If...»为无穷小，分母«Skip Record If...»，我们不难证明«Skip Record If...»有界（详细过程见书上）«Skip Record If...»为无穷小，记为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«SkipRecord If...»。
注：以上定理对数列亦成立。
定理4：如果«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»。
【例1】«Skip Record If...»。
【例2】«Skip Record If...»。
推论1：设«Skip Record If...»为一多项式，当«Skip Record If...»。
推论2：设«Skip Record If...»均为多项式，且«Skip Record If...»，则«Ski p Record If...»。
【例3】«Skip Record If...»。
【例4】«Skip Record If...»（因为«Skip Record If...»）。
注：若«Skip Record If...»，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。
【例5】求«Skip Record If...»。
解：当«Skip Record If...»时，分子、分母均趋于0，因为«Skip RecordIf...»，约去公因子«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»。
【例6】求«Skip Record If...»。
解：当«Skip Record If...»全没有极限，故不能直接用定理3，但当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»。
【例7】求«Skip Record If...»。
解：当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，故不能直接用定理5，又«Skip Record If...»，考虑：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»。
【例8】若«Skip Record If...»，求a,b的值。
当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»【例9】设«Skip Record If...»为自然数，则«Skip Record If...»。
证明：当«Skip Record If...»时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：«Skip Record If...»«Skip Record If...»【例10】求«Skip Record If...»。
解：当«Skip Record If...»时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：原式«Skip Record If...»。
【例11】证明«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的整数部分。
证明：先考虑«Skip Record If...»，因为«Skip Record If...»是有界函数，且当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得«Skip Record If...»。
三、课堂练习：四、布置作业：。