2018-2019学年湖南省长沙市浏阳市八年级（上）数学期中模拟试卷含答案解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．2B．3C．4D．52．在以下绿色食品，永洁环保，节能，绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．104．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE 5．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）A．A、C两点之间B．E、G两点之间C．B、F两点之间D．G、H两点之间6．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°7．等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（）A．50°B．50°或65°C．80°D．65°8．若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．2B．﹣2C．12D．﹣129．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处10．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（）A．α+β+γ=180°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=360°11．如图，将矩形ABCD 沿EM 折叠，使顶点B 恰好落在CD 边的中点N 上．若AB=6， AD=9，则五边形ABMND 的周长为（ ）A ．28B ．26C ．25D ．2212．将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为 度．14．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为 cm ．15．已知点M （a ，b ）与点N （﹣2，﹣3）关于y 轴对称，则a+b= ．16．某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是 ．17．如图，∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…均为等边三角形．若OA 1=1，则△A n B n A n+1的边长为 ．18．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）如图，AB=AE ，∠B=∠AED ，∠1=∠2，求证：△ABC ≌△AED ．20．（6分）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，DE 是腰AB 的垂直平分线，求∠DBC 的度数．21．（8分）已知，点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB=OC ．（1）如图1，若点O 在BC 上，求证：△ABC 是等腰三角形．（2）如图2，若点O 在△ABC 内部，求证：AB=AC ．（3）若点O点在△ABC的外部，△ABC是等腰三角形还成立吗？请画图表示．22．（8分）如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC=BD．23．（9分）如图∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC 且交AB于F．（1）求证：△ADF是等腰三角形．（2）若DF=10cm，求DE的长．24．（9分）如图，在正方形网格上有一个△ABC，A、B、C均为小正方形的顶点．（1）画△ABC关于直线a的对称图形（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求所画出的对称图形的面积．25．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F，求证：△AEC≌△ADB．26．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF．（1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系；（2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB=8，请直接写出线段CM的长．参考答案一．选择题1．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，则4＜x＜10，故选：D．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．2．在以下绿色食品，永洁环保，节能，绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断．【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．10【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE 【分析】由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．【解答】解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D 选项错误．故选：A．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）A．A、C两点之间B．E、G两点之间C．B、F两点之间D．G、H两点之间【分析】用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：B．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．6．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，然后求出∠α即可．【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠1=45°+90°=135°，∠α=∠1+30°=135°+30°=165°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．7．等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（）A．50°B．50°或65°C．80°D．65°【分析】分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可．【解答】解：当底角为50°时，则底角为50°，当顶角为50°时，由三角形内角和定理可求得底角为：65°，所以底角为50°或65°，故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．8．若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（）A．2B．﹣2C．12D．﹣12【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，∴m=5，n=7，则m+n的值是：12．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．9．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．故选：D．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．10．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（）A．α+β+γ=180°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=360°【分析】延长AE交直线CD于F，根据平行线的性质得出∠α+∠AFD=180°，根据三角形外角性质得出∠AFD=∠β﹣∠γ，代入求出即可．【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，∵AB∥CD，∴∠α+∠AFD=180°，∵∠AFD=∠β﹣∠γ，∴∠α+∠β﹣∠γ=180°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角性质和平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．11．如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若AB=6，AD=9，则五边形ABMND的周长为（）A．28B．26C．25D．22【分析】如图，运用矩形的性质首先证明CN=3，∠C=90°；运用翻折变换的性质证明BM=MN（设为λ），运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得：BM=MN（设为λ），CN=DN=3；∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=9，∠C=90°，MC=9﹣λ；由勾股定理得：λ2=（9﹣λ）2+32，解得：λ=5，∴五边形ABMND的周长=6+5+5+3+9=28，故选：A．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．12．将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A．B．C．D．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线上，故选：A．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为130 度．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1．则用内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．【解答】解：设（x﹣2）•180=2750，解得x=17，因而多边形的边数是18，则这一内角为（18﹣2）×180﹣2750=130度．故答案为：130．【点评】正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题的关键．14．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为22 cm．【分析】等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【解答】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．15．已知点M（a，b）与点N（﹣2，﹣3）关于y轴对称，则a+b= ﹣5 ．【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵点M （a ，b ）与点N （﹣2，﹣3）关于y 轴对称，∴a=﹣2，b=﹣3，∴a+b=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．16．某同学从平面镜里看到镜子对面的电子钟的示数如图所示，这时的实际时间是 10：51 ．【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是10：51．故答案为：10：51．【点评】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．17．如图，∠MON=30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…均为等边三角形．若OA 1=1，则△A n B n A n+1的边长为 2n ﹣1 ．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案．【解答】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=1，∴A 2B 1=1，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2=16，以此类推：△A n B n A n+1的边长为 2n ﹣1．故答案是：2n ﹣1．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．18．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 15° ．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α=2β，α=110°，则β=55°，180°﹣110°﹣55°=15°，故答案为：15°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：△ABC≌△AED．【分析】根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题；【解答】证明∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠EAD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．20．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【分析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【解答】解：∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．即∠DBC的度数是15°．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．21．（8分）已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形．（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB=AC．（3）若点O点在△ABC的外部，△ABC是等腰三角形还成立吗？请画图表示．【分析】（1）根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，即可得出答案；（2）根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案；（3）画出符合条件的两种情况：图③和图④，根据HL证Rt△OEB≌Rt△OFC，根据全等三角形的性质得出∠EBO=∠FCO，即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠ABO=∠ACO，∵∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（3）解：若O点在△ABC的外部，AB=AC不一定成立，理由是：①当∠A的平分线和BC的垂直平分线重合时，如图3，过O作OE⊥AB交AB的延长线于E，OF⊥AC交AC的延长线于F，则∠OEB=∠OFC=90°，∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，∴OE=OF，在Rt△OEB和Rt△OFC中∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠EBO=∠FCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠ABC=180°﹣（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°﹣（∠OCB+∠FCO），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；②当∠A的平分线和BC的垂直平分线不重合时，如图④，此时∠ABC和∠ACB不相等，∴AB≠AC，∴△ABC是等腰三角形不一定成立．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相等角，利用等角对等边证明结论．22．（8分）如图，已知△AOD≌△BOC．求证：AC=BD．【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可．【解答】证明：∵△AOD≌△BOC，∴AO=BO，CO=DO，∠AOD=∠BOC，∴∠AOD﹣∠COD=∠BOC﹣∠COD，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD．【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质解答．23．（9分）如图∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC 且交AB于F．（1）求证：△ADF是等腰三角形．（2）若DF=10cm，求DE的长．【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明；（2）作DH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出BH，根据角平分线的性质定理解答．【解答】（1）证明：∵∠BAC=30°，D为角平分线上一点，∴∠BAD=∠CAD，∵DF∥AC，∴∠CAD=∠FDA，∴∠BAD=∠FDA，∴F A=FD，即△ADF是等腰三角形；（2）解：作DH⊥AB于H，∵DF∥AC，∴∠BFD=∠BAC=30°，∴DH=DF=5，∵D为角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE=DH=5cm．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．24．（9分）如图，在正方形网格上有一个△ABC，A、B、C均为小正方形的顶点．（1）画△ABC关于直线a的对称图形（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求所画出的对称图形的面积．【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线a的对称图形；（2）利用割补法，即可得到所画出的对称图形的面积．【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）由图可得，S=4×2﹣×2×1﹣×3×1﹣×4×1=3.5【点评】此题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及三角形面积求法，利用结合网格解题是关键．25．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F，求证：△AEC≌△ADB．【分析】由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS 得到三角形AEC与三角形ADB全等即可．【解答】解：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB．【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．26．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，点M是射线EC上的一个动点，作等边△DMN，使△DMN与△ABC在BC边同侧，连接NF．（1）如图1，当点M与点C重合时，直接写出线段FN与线段EM的数量关系；（2）当点M在线段EC上（点M与点E，C不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）连接DF，直线DM与直线AC相交于点G，若△DNF的面积是△GMC面积的9倍，AB=8，请直接写出线段CM的长．【分析】（1）先连接ED，EF，DF，根据D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，得出△DEF是等边三角形，进而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；（2）与（1）类似，先连接ED，EF，DF，得出△DEF是等边三角形，进而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；（3）分两种情况：①当M在线段CE上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，再根据条件判定△GCM∽△DEM，根据相似三角形的性质，得出=，再根据CE=BC=4，即可得出CM=CE=1；②当M在线段EC延长线上时，运用同样的方法，判定△GCM∽△DEM，得出=，即=，再根据CE=4，即可得出CM=CE=2．【解答】解：（1）线段FN与线段EM的数量关系为：FN=EM．理由：如图1，连接ED，EF，DF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴DE=EF=FD，即△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，又∵△DMN是等边三角形，∴DN=DM，∠MDN=60°，∴∠FDN=∠EDM，在△FDN和△EDM中，，∴△DFN≌△DEM（SAS），∴FN=EM．（2）补全图形，如图2．结论FN=EM成立．证明：连接ED，EF，DF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴DE=EF=FD，即△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，又∵△DMN是等边三角形，∴DN=DM，∠MDN=60°，∴∠FDN=∠EDM，在△FDN和△EDM中，，∴△DFN≌△DEM（SAS），∴FN=EM．（3）分两种情况：①如图3，当M在线段CE上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，由（2）可得△DFN≌△DEM，∴△DFN与△DEM面积相等，∵△DNF的面积是△GMC面积的9倍，∴△DEM的面积是△GMC面积的9倍，∵CG∥DE，∴△GCM∽△DEM，∴==，又∵CE=BC=×8=4，∴CM=CE=1；②如图4，当M在线段EC延长线上时，连接DE，EF，则△DEF是等边三角形，同理可得△DFN≌△DEM，∴△DFN与△DEM面积相等，∵△DNF的面积是△GMC面积的9倍，∴△DEM的面积是△GMC面积的9倍，∵CG∥DE，∴△GCM∽△DEM，∴==，即=，又∵CE=BC=4，∴CM=CE=2．综上所述，CM的长为1或2．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意灵活运用：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．。