对 称 形 式 的 对 偶 问 题
对偶的定义
原始问题 min f(x)=CTX s.t. AX≥b X ≥0
min m CT A ≥ b
对偶问题 max z(y)=bTy s.t. ATy≤C y ≥0
max bT
n
AT m
≤ C
n
对偶问题的特点

（1）目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值 （2）一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项 （3）一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数 （4）原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
对偶问题对应表
原问题（对偶问题） 目标函数min 约束条件： m个
第i个约束类型为“≥” 第i个约束类型为“≤” 第i个约束类型为“＝”
对偶问题（原问题） 目标函数max 变量数： m个
第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
变量数：n个
第j个变量≤ 0 第j个变量≥ 0 第j个变量是自由变量
1
B
1
C
1
拥有量
3
1
2
4
3
7
3
9
假设有客户提出要求，购买工厂所拥有的 工时和材料，为客户加工别的产品，由客 户支付工时费和材料费。那么工厂给工时 和材料制订的最低价格应是多少，才值得 出卖工时和材料 ?
A 工 时 材 料 单件利润
1 1
B
1 4
C
1 7
拥有量 3 9
2
3
3
•出卖资源获利应不少于生产产品的获利; 约束
≤
≥0
一般 线 性规 划 问题 的 对偶 问题
min f c1x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn (, )b2 a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x j 0( 0, 或符号不限) j 1 ~ n
约束条件：n个
第j个约束类型为“≥” 第j个约束类型为“≤” 第j个约束类型为“＝”
例 写出如下LP问题的对偶问题
min f x1 2x2 3x3
3 x1 2 x2 x3 6 4 x 2 x 3x 5 1 2 3 x1 3 x2 x3 9 , x3符号不限 x1 0, x2 0,



其他形式问题的对偶
min f=CTX s.t. AX≥b X
≥0
max z=bTY s.t. ATY≤C Y ≥0 max z=bTY s.t. ATY≤C Y ：unr max z=bTY s.t. ATY≤C Y ≤0
min f=CTX s.t. AX=b X ≥0

min f=CTX s.t. AX b X
对偶原理
对偶问题概念：
任何一个线性规划问题都有一个与之相对应 的线性规划问题，如果前者称为原始问题，后者 就称为“对偶”问题。 对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述 其最优解与原问题的最优解有着密切的联系，在 求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶线 性规划的最优解，反之亦然。 对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的 理论，是线性规划理论的重要内容之一。
问题的导出
A B
1
4
C
1
7
拥有量
工 时 材 料 单件利润
1
1
3
9
2
3
3
max Z 2 x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, x 0, x 0 2 3 1
A
工 时 材 料 单件利润
•价格应该尽量低，这样，才能有竞争力;
目标
•价格应该是非负的
A 工 时 材 料 单件利润
1 1 2
B
1 4 3
C
1 7 3
拥有量 3 9
用y1和y2分别表示工时和材料的出售价格 总利润最小 保证A产品利润 min W=3y1+9y2 y1+y2≥2
保证B产品利润
保证C产品利润
y1+4y2≥3
y1+7y2≥3
售价非负
y1≥0
y2≥0
A
工 时 材 料 单件利润
minW 3 y1 9 y2
y1 y 2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y 2 3 y1 0, y 2 0
1
B
1
C
1
拥有量
3
1
2
4
3
7
3
9
max Z 2 x1 3x2 3x3
max z b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1 a12 y1 a22 y2 am 2 ym (, )c2 a y a y a y (, )c mn m n 1n 1 2 n 2 y j 0(符号不限, 或 0)i 1 ~ m
a1n x1 b1 a2 n x2 b2 amn xn bm 0
max W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 a21 am1 y1 c1 a12 a22 am 2 y2 c2 s.t. a a2 n amn ym cn 1n y1 , y2 , , ym 0
x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, x 0, x 0 2 3 1
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 a12 a21 a22 s.t. a am 2 m1 x1 , x2 , , xn