一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。
一般形式为：F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。
如：f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。
2. 若f (x)使常微分方程两端恒等，则f (x)称为常微分方程的解。
3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。
如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为：x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。
4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一，亦可能不存在) 。
5. 常微分方程之线性及非线性：对于F (x, y, y…y(n)) =0而言，如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。
(方程线性与否与白变量无关)。
如：xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y⑵+siny=0为非线性微分方程。
注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。
余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。
另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。
b.教材28页第八题不妨做做。
二.可分离变量的方程1. 定义：形如dy=f (x) 4 (y)的方程，称为分离变量方程。
这里fdx(x), § (x)分别是x, y的连续函数。
2. 解法：分离变量法』芸七=Jf (x)dx+c. (*)说明：a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上，故而可能漏解。
需视情况补上§ (y) =0的特解。
(有时候特解也可以和通解统一于一式中)b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。
例 1. ydx (x2-4x)dy =0解：由题意分离变量得：2dx dy=0x -4 y即：1(工-1)dx 业=。
4 x —4 x y积分之，得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c故原方程通解为：(x-4)y4=cx (c为任意常数)，特解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。
*例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(：)dt+|n2,则f (x)是？解：对给定的积分方程两边关于x求导，得：f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导)分离变量，解之得：f(x)=Ce2x由原方程知：f (0) =In2 ,代入上解析式得：C=ln2 ,解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。
故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。
类型1.1.形式：形如^=g(y)(2.2 )dx x的方程，此类方程称为齐次微分方程，这里g (u)是u的连续函数。
1. 解法：作变量变换u= - , (2.3)x即y=ux，从而：^^ =x du +u (2.4) dx dx将(2.3) (2.4)代入(2.2 ),则原方程变为：du _ g(u) u dx x这是一个变量分离方程，可按照A中的方法求解。
例3.求解方程：史= (x + y)2 dx解：令u=x+y ,贝U y=u-x , 于是：我=业_1dx dx于是，原方程可化为：也-1=u2 dx分离变量得：?u〔 =dx积分之，得: arctanu=x+c变量回代，既得方程之通解：arctan (x+y) =x+c例 4 求命军方程x(ln x —ln y)dy - ydx = 0.解：由题意可得：ln有尸-~dx =0 , y x即：d x _ m y (2.5) dy y x令-=u，贝fjx=uy,于是：^nWy+u, y dy dy代入(2.5)得：空y+u=y , dy u分离变量，并整理得：一四一=也u(ln u —1) y两边积分得：——^^——=曳，令u=e tu(ln u -1) y则有：[―d^ [-dy , 从而有：lnt-1 =ln y+lnc , t 一1 ■ y(c>0).即：t —1=±cy ，变量回代得:ln- =C 1y +1 ( G =±C ) y类型二：形式：业=门"对0dx解法：1.当c 〔=c 2=0时，dy = f (&x 叫 dx a 2x b 2yx2. 当色=%3时，a 2b 2dy ，(a 2x b 2y) G —=f ( ------------------------ dx a 2x b 2y c 2 du f dy f CIa 2b 2 ——=a 2 b 2 f ( )dx dx u c 2a 2xb 2c 2)=g(")x转化为齐次方程。
)=g (a 2xb 2y)a 2x+b 2y=u,贝3. 当土?且C 1,C 2不全为零时,a 1x ^y G = 0 解方程组｛ a 2x+b 2y+C 2=0，求交点(a ,B ),解：令u =x —y ，则y=x -u ，从而：也=1—史dx dx代入原方程，得：1 一业=心，a 2x 令x=X+a , y =Y +E ，则原方程化为:、心）XdY这是齐次方程。
例5.求解方程务= 2x -y wx -2y 1解:2x - y 1 =0 x -2y 1=0得交点1x = —一31 y =3x =X令｛13代入原方程有:1V = Y —3dY dX 2X -Y X -2Y 贝U Y=uX ,于是:dY dXdu vX u dX从而有: 整理得: du 2 - uX u = --------- ,dX 1 -2u1-2u「dX -2 --------du = 2 —, u 2-u 1 X两边积分之，得:d(u 2-u 1)u 2-u 1即：ln(u 2-u+1) =-2ln X +lnc 1(C 1>0)代，并整理得：x 2+1-例6.求解方程dy x -y 5 x - y - 2dx u - 2整理得：—=du ,2 -u dx分离变量得：(2 -u)du = 7dx ,1,,2 八 1两边积分之：2u—u =7X"c,变量回代，并整理得：X2• y2• 10X • 4y-2xy = c(C是任意常数)1. 形式：形如义+ p(x)y=Q(x)的一阶方程称为一阶线性方dx程.当Q(x)三0时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的2. 解法：利用常数变易法求解。
其解为：y =e"dx(JQ(x)e-Jf + c).下面用具体的题目体现这一思想.注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注标准式(也的系数为1),否则易出错.dx例7 求方程业=y +sin x的通解.dx解：首先求线性齐次方程曳=y的通解，dx分离变量得：业=dx,两边同时积分，y得：y=ce x,因而可设原方程的通解为：y=c(x)e x，则业=dc(x) e x+e x c(x),dx dx将之入原方程，得:dc(x)e x+e x c(x)=c(x)e x+sin x 即：dc(x) =sin xe^ ,dx dx两边积分得：c(x) = jsin xe^dx ,而sinxe 顼dx - - sin xd (e^)= —sinxe"，ie^d(sin x)= —sinxe 项e^cosxdx= -sinx/- cosxd(e^)= -sin xe"-cosx/ e顼d(cosx)--e^(sin x cosx) - e^sin xdx从而：c(x) =-1e"(sin x+cosx)(这里没加常2数)，从而通解为：y =―】(sin x + cosx).21. 形式：形如曳+ p(x)y = Q(x)y n( n#0,1 )的方程称为伯努利方程.dx2. 解法：在方程两边同时成乘以y\做代换z = yJ,则伯努利方程转化为新的未知函数Z的线性方程虫十(1—n)p(x)z = (1 —n)Q(x),从而可用dxC中方法解决之.注意：n>0时，方程还有解y=0.».、一d y _公y打…―例8.求方程瓦一6;-xy的通解.二6%(_x解：万程两边同乘y ,得：dx x ,即：yA 业=6 上-x (2.12)dx xy令z = y~ ,则虫=—yA包，将之代入(2.12)dx dx得：" = _6z+x .(2.13)dx xdz = _6dx=z =4，记(2.13)之通解为: z x x于是：* = "(x) x"6 _6G (x)x"7，将以上两式代入(2.13)得.dc(x) -6766 .x 「6c 1(x)x =-一 c 1(x)xx 「x dx8_ _ x 2cn G(x)=x +c z = §*房，变量回代得原方程之 82通解为：-=一 • -6,此外，方程还有解y=0.y 8 x例9.解方程也+xy=x 3y 3.dx解：这是n=3时的伯努利方程，令z=yU = yL则方程可化为：dz =2xz-2x 3,这是一阶线性方程,dx应用公式得：z = e 、"( j_2x 3e —"dx+c)c(e xx 21)这样，方程之通解为：飞=ce x 2x 21 ,y另外，方程有解：y=0.1.形式：对于一阶方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy =0(2.14)如果其左端是某一函数u(x,y)的全微分，即du(x, y) =M (x, y)dx+N(x, y)dy ，则称此方程为恰当微分方程.2. 条件：若(2.14 )中的M(x,y),N(x,y)在某一单连通区域D 有一阶连 续的偏导数，则(2.14 )为恰当微风方程 的充要条件为：C i (x) z=—6- xdx dxdc i (x)7------------- =xdx对工，(x,y) D .:y:x3. 解的形式：u =c .4. 解法：a.朴素化简法：由—=M ，得 u(x,y)= JM(x,y)dx+中(y),；:x再由削=N ，得 9(y) = y 4N(x,y)=产M (x, y)dx + P (y):y :y由上式解得0(y),在积分之既得平(y). ( 当然这种解法具有对称性) b. 分项组合法：通过例题予以说明.(宜熟记课本54页(2.55)) c.利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无 关求解.(旨在提醒有此法，一般不用)例 10.求(3x 2+6xy 2)dx + (6x 2y +4y 3)dy = 0 的通解.2 2 2 3解：这里 M =3x 6xy,N=6xy 4y ，此时： —=12xy^^ =12xy :y : y因此为恰当微分方程. a.朴素化简法.-u c 23——=6x y 4y ■:y对(2.15)关于 x 积分，得 u = x 3十3x 2y 2十Wy) (2.17)(2.17)两边关于y 求导，并对照(2.16),得:= 6x 2y d %)=6x2y+4y3,于是殴3 = 4y 3dy dy：U22令■— =3x 6x y(2.15)(2.16)-:u ■积分之，得：审(y )=y 4,将中(y)=y 4代入(2.17),得:u =x 3+3x 2y 2+y 4，从而通解为：x 3+3x 2y 2+ y 4= cb.分项组合法.将上面方程重新组合得：(3x 2dx+4y 3dy) +(6xy 2dx + 6x 2ydy) = 0 ,即：d(x 3) +d(y 4) +d(3x 2y 2) =0，亦即：d(x 3 + y 4+3x 2y 2) = 0 ,从而通解为：x 3+y 4+3x 2y 2=c .(此种方法需要多观察)例11求解方程I y 2 2—1 L" _(x-y)2x 故此方程为恰当微分方程.分项组合得:1顼 1顼工 y 2dxx 2dy八 日口 . i xy 、 八-dy - - dx + -=0,艮】 d(lny —Inx- )= 0 ,从而方程之通解为：ln 兰一里=c .x x — y5.定义：能使非恰当微分方程 M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0变成恰当微分 方程的连续可微函数u (x, y) (u(x, y)#0 ),称之为该方程的积分因 子.即 u(x, y)M (x,y)dx +u(x, y)N(x, y)dy =0 ,满足fuM:uN.村 fx5.积分因子(只与x, y 有关)的求解：湖 _ ；：Na. 与x 有关的积分因子.由W —=甲(x)得：u = e"dx ,N-dx + |— —一-―2 dy = 0. x 一 ：y (x-y)2」'」—, : y 2解：因为：3*1 —三] x 2x 」5x]y (x —y)2」(x —y)2xy3，:M：：Nb. 与y有关的积分因子.由巧=%y)得：u = eW)dx.-M例12.求方程(e x+3y2)dx + 2xydy = 0 的通解.解：由于运上过2=6”2y =旦经，故此方程不是恰当微:y .x当微分方程。