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山东省青岛市城阳区2018-2019学年九年级数学上学期期末试卷(含解析)

山东省青岛市城阳区2018-2019学年九年级数学上学期期末试一、选择题1.如图,是一个几何体的三视图,则这个三视图,则这个几何体是()A.长方体B.圆柱体C.球体D.圆锥体2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则sin B的值为()A.B.C.D.3.已知反比例函数y=的图象经过点(﹣5,3),则k的值为()A.﹣15 B.C.﹣2 D.4.菱形ABCD的周长为20cm,∠ABC=120°,则对角线BD等于()A.4cm B.6cm C.5cm D.10cm5.如图,在△ABC中,点D在AB上一点,下列条件中,能使△ABC与△BDC相似的是()A.∠B=∠ACD B.∠ACB=∠ADC C.AC2=AD•AB D.BC2=BD•AB6.一个密闭不透明的盒子里由若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入10个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子,不断重复,共摸球200次,其中40次摸到黑球,则可以估计盒中大约有白球()A.30个B.35个C.40个D.50个7.若k≠0,则函数y=和y=kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是()A.B.C.D.8.若二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点,则a的取值范围为()A.a>﹣1 B.a>﹣1且a≠0 C.a≥﹣1 D.a≥﹣1且a≠0 二、填空题9.已知=,则=.10.计算:cos60°+tan60°=.11.高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米,同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米,则此建筑物的高度为米.12.如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数y=(k<0,x<0)的图象上,过点A作AB∥y轴交x轴于点B,点C在y轴上,连结AC、BC.若△ABC的面积是8,则k=.13.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.该矩形草坪BC边的长是米.14.如图,矩形ABCD中,AB=2,E为对角线BD上一点,且BE=3DE,CE⊥BD于E,则BC =.15.已知A(0,3)和B(2,3)在抛物线y=x2+bx+c上,则二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线.16.已知反比例函数y=的图象,当x取1,2,3,…,n时,对应在反比例图象上的点分别为M1,M2,M3…,M n,则=.三、作图题17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2),以原点O为位似中心,△ABC与△A1B1C1位似比为1:2,在y轴的左侧,请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1.四、解答题18.计算(1)x2+6x﹣2=0(配方法)(2)已知关于x的方程2x2+(k﹣2)x+1=0有两个相等的实数根,求k的值.19.小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏.游戏规则如下:在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球,它们除颜色外完全相同,其中红球有2个,黄球有1个,蓝球有1个.游戏者先从纸箱里随机摸出一个球,记录颜色后放回,将小球摇匀,再随机摸出一个球,若两次摸到的球颜色相同,则游戏者可获得一份纪念品.请你利用树状图或列表法求游戏者获得纪念品的概率.20.在工程实施过程中,某工程队接受一项开挖水渠的工程,所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示,是双曲线的一部分.(1)请根据题意,求y与x之间的函数表达式;(2)若该工程队有2台挖掘机,每台挖掘机每天能够开挖水渠30米,问该工程队需要用多少天才能完成此项任务?(3)如果为了防汛工作的紧急需要,必须在10天内完成任务,那么每天至少要完成多少米?21.某商店经销一种销售成本为每件40元的商品,根据市场分析,当销售定价为52元时,每月可售出180件,定价每增加1元,销售量就将减少10件;定价每减少1元,销售量就将增加10件.若商店想在销售成本不高于7200元的情况下,使该商品的月销售利润达到2000元,则销售价应定为每件多少元?22.小华为了测量楼房AB的高度,他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m,到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.小华的身高ED是1.6m,他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°,求楼房AB的高度.(计算结果精确到1m)(参考数据:sin15°=,cos15°=,tan15°=)23.如图,在▱ABCD中,AC⊥CD.(1)延长DC到E,使CE=CD,连接BE,求证:四边形ABEC是矩形;(2)若点F,G分别是BC,AD的中点,连接AF,CG,试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形?并证明你的结论.24.如图,一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA,O恰好在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,按如图所示建立直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线经过点B(,2),C (2,).请根据以上信息,解答下列问题;(1)求抛物线的函数关系式,并确定喷水装置OA的高度;(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米?(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?25.(8分)△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=;(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.26.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.动点P从点A出发沿AC向终点C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,到达A点时停止运动.点P也同时停止.点P,Q运动速度均为每秒1个单位长度,连接PQ,设运动时间为t(t>0)秒.(1)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点),①当t=时PQ∥BC②求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;(2)伴随着P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l:①当l经过点A时,射线QP交AD于点E,求此时的t的值和AE的长;②当l经过点B时,求t的值.参考答案一、选择题1.如图,是一个几何体的三视图,则这个三视图,则这个几何体是()A.长方体B.圆柱体C.球体D.圆锥体【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形,再根据几何体的特点即可得出答案.【解答】解:圆柱体的主视图和左视图均为矩形,俯视图是圆,故选:B.【点评】此题考查了由三视图判断几何体,关键是对三视图能熟练掌握和灵活运用,体现了对空间想象能力的考查.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则sin B的值为()A.B.C.D.【分析】利用勾股定理求出AB的长度,然后根据sin B=代入数据进行计算即可得解.【解答】解:∵∠C=Rt∠,AC=4,BC=3,∴AB===5,∴sin B==.故选:D.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.3.已知反比例函数y=的图象经过点(﹣5,3),则k的值为()A.﹣15 B.C.﹣2 D.【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式中可求k的值.【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(﹣5,3),∴k=﹣5×3=﹣15故选:A.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,掌握图象上的点的坐标满足解析式是本题的关键.4.菱形ABCD的周长为20cm,∠ABC=120°,则对角线BD等于()A.4cm B.6cm C.5cm D.10cm【分析】由菱形的性质可得,AB=AD=5cm,∠A=60°,则△ABD是等边三角形,则对角线BD的长为5cm.【解答】解:∵菱形的周长为20cm,∴AB=BC=CD=AD=5cm,∵∠ABC=120°,∴∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=5cm.故选:C.【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定.关键是掌握菱形的四条边相等.5.如图,在△ABC中,点D在AB上一点,下列条件中,能使△ABC与△BDC相似的是()A.∠B=∠ACD B.∠ACB=∠ADC C.AC2=AD•AB D.BC2=BD•AB【分析】根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似,即可判断.【解答】解:选项A、B、C的条件无法判断△ABC与△BDC相似.正确答案是D.理由如下:∵BC2=BD•BA,∴=,∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD(两边成比例夹角相等的两个三角形相似).故选:D.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于基础题,中考常考题型.6.一个密闭不透明的盒子里由若干个白球,在不允许将球倒出来数的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入10个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子,不断重复,共摸球200次,其中40次摸到黑球,则可以估计盒中大约有白球()A.30个B.35个C.40个D.50个【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式,其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“,“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”.【解答】解:设盒子里有白球x个,根据得:解得:x=40.故选:C.【点评】本题主要考查利用频率估计概率,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解,注意分式方程要验根.7.若k≠0,则函数y=和y=kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是()A.B.C.D.【分析】根据一次函数和反比例函数的特点,k≠0,所以分k>0和k<0两种情况讨论.当两函数系数k取相同符号值,两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案.【解答】解:分两种情况讨论:①当k>0时,y=kx+3与y轴的交点在正半轴,过一、二、三象限,y=的图象在第一、三象限;②当k<0时,y=kx+3与y轴的交点在正半轴,过一、二、四象限,y=的图象在第二、四象限.故选:A.【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,关键是由k的取值确定函数所在的象限.8.若二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点,则a的取值范围为()A.a>﹣1 B.a>﹣1且a≠0 C.a≥﹣1 D.a≥﹣1且a≠0 【分析】直接利用根的判别式进行计算,“图象和x轴有交点”说明△≥0,a≠0,即可得出结果.【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象和x轴有交点,∴△=b2﹣4ac=4+4a≥0,a≠0,∴a≥﹣1,且a≠0;故选:D.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、判别式的应用;熟练掌握根的判别式的运用是解决问题的关键,本题的易错点是漏掉a≠0.二、填空题9.已知=,则=﹣.【分析】根据题意,设x=3k,y=4k,代入即求得的值.【解答】解:设x=3k,y=4k,∴==﹣.【点评】已知几个量的比值时,设一个未知数,把题目中的几个量用所设的未知数表示出来,实现消元.10.计算:cos60°+tan60°= 2 .【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案.【解答】解:cos60°+tan60°=+×=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了实数运算,正确记忆相关数据是解题关键.11.高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米,同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米,则此建筑物的高度为40 米.【分析】设此建筑物的高度为h,再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出h的值.【解答】解:设此建筑物的高度为h,∵同一时刻物高与影长成正比,∴,解得h=40m.故答案为:40m.【点评】本题考查的是相似三角形的应用,熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.12.如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数y=(k<0,x<0)的图象上,过点A作AB∥y轴交x轴于点B,点C在y轴上,连结AC、BC.若△ABC的面积是8,则k=﹣16 .【分析】连接AO,利用同底等高三角形面积相等求出AOB面积,利用反比例函数k的几何意义求出k的值即可.【解答】解:接AO,由同底等高得到S△AOB=S△ABC=8,∴|k|=8,即|k|=16,∵反比例函数在第二象限过点A,∴k=﹣16,故答案为:﹣16.【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义,以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键.13.如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.该矩形草坪BC边的长是12 米.【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米,则AB的长是,根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解.【解答】解:设BC边的长为x米,则AB=CD=米,根据题意得:×x=120,解得:x1=12,x2=20,∵20>16,∴x2=20不合题意,舍去,故答案为:12.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键.14.如图,矩形ABCD中,AB=2,E为对角线BD上一点,且BE=3DE,CE⊥BD于E,则BC =2.【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD,由BE=3DE可得OE=DE,根据线段垂直平分线的性质可得OC=DC=2,根据勾股定理可求BC的长.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形∴AO=BO=CO=DO,AB=CD=2,∵BE=3DE∴BD=4DE,OD=2DE,∴OE=DE,且CE⊥DB,∴CO=DC=2,∴AO=CO=2,∴AC=4在Rt△ABC中,BC==2故答案为2【点评】本题考查了矩形的性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理,熟练运用矩形的性质是本题的关键.15.已知A(0,3)和B(2,3)在抛物线y=x2+bx+c上,则二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1 .【分析】根据抛物线对称性求解可得.【解答】解:∵A(0,3)和B(2,3)在抛物线y=x2+bx+c上,∴点A和点B是抛物线上关于对称轴对称的两点,∴对称轴为直线x==1,故答案为:x=1.【点评】此题考查了二次函数的性质与图象,解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性.16.已知反比例函数y=的图象,当x取1,2,3,…,n时,对应在反比例图象上的点分别为M1,M2,M3…,M n,则=.【分析】先确定M1(1,1),M2(2,),M3(3,),…,M n(n,),再根据三角形面积公式得到S△P1M1M2=×1×(1﹣),S△P2M2M3=×1×(﹣),…,S△Pn﹣1Mn﹣1Mn=×1×(﹣),然后把它们相加即可.【解答】解:∵M1(1,1),M2(2,),M3(3,),…,M n(n,),∴S△P1M1M2=×1×(1﹣),S△P2M2M3=×1×(﹣),…,S△Pn﹣1Mn﹣1Mn=×1×(﹣),∴=×1×(1﹣)+×1×(﹣)+…+×1×(﹣)=(1﹣+﹣+…+﹣)=•=.故答案为.【点评】本题考查了反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线,则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.三、作图题17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2),以原点O为位似中心,△ABC与△A1B1C1位似比为1:2,在y轴的左侧,请画出△ABC放大后的图形△A1B1C1.【分析】利用位似比为1:2,进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍,进而得出答案.【解答】解:如图所示,△A1B1C1即为所求.【点评】此题主要考查了位似变换,正确掌握位似比与坐标的关系是解题关键.四、解答题18.计算(1)x2+6x﹣2=0(配方法)(2)已知关于x的方程2x2+(k﹣2)x+1=0有两个相等的实数根,求k的值.【分析】(1)根据配方法的步骤计算可得;(2)由方程有两个相等的实数根知△=0,据此列出关于k的方程,解之可得.【解答】解:(1)∵x2+6x﹣2=0,∴x2+6x=2,则x2+6x+9=2+9,即(x+3)2=11,解得x+3=±,∴x=﹣3±,即x1=﹣3+,x2=﹣3﹣;(2)∵方程有两个相等的实数根,∴△=0,即(k﹣2)2﹣4×2×1=0,整理,得:k2﹣4k﹣4=0,解得:k1=2+2,k2=2﹣2.【点评】此题考查了配方法解一元二次方程与一元二次方程判别式的知识.此题比较简单,注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根,即可得△=0.19.小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏.游戏规则如下:在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球,它们除颜色外完全相同,其中红球有2个,黄球有1个,蓝球有1个.游戏者先从纸箱里随机摸出一个球,记录颜色后放回,将小球摇匀,再随机摸出一个球,若两次摸到的球颜色相同,则游戏者可获得一份纪念品.请你利用树状图或列表法求游戏者获得纪念品的概率.【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数,再找出两次摸到的球颜色相同的结果数,然后根据概率公式求解.【解答】解:画树状图为:共有16种等可能的结果数,其中两次摸到的球颜色相同的结果数为6,所以游戏者获得纪念品的概率==.【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.20.在工程实施过程中,某工程队接受一项开挖水渠的工程,所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示,是双曲线的一部分.(1)请根据题意,求y与x之间的函数表达式;(2)若该工程队有2台挖掘机,每台挖掘机每天能够开挖水渠30米,问该工程队需要用多少天才能完成此项任务?(3)如果为了防汛工作的紧急需要,必须在10天内完成任务,那么每天至少要完成多少米?【分析】(1)将点(24,50)代入反比例函数的解析式,即可求得反比例函数的解析式;(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量,然后除以工作效率即可得到工作时间;(3)工作量除以工作时间即可得到工作的效率.【解答】解:(1)设y=.∵点(24,50)在其图象上,∴所求函数表达式为y=;(2)由图象,知共需开挖水渠24×50=1200(m);2台挖掘机需要1200÷(2×30)=20天;(3)1200÷10=120(m).故每天至少要完成120m.【点评】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型.21.某商店经销一种销售成本为每件40元的商品,根据市场分析,当销售定价为52元时,每月可售出180件,定价每增加1元,销售量就将减少10件;定价每减少1元,销售量就将增加10件.若商店想在销售成本不高于7200元的情况下,使该商品的月销售利润达到2000元,则销售价应定为每件多少元?【分析】设销售价应定为每件x元,根据利润=2000,列出方程即可解决问题.【解答】解:设销售价应定为每件x元,根据题意,得(x﹣40)[180﹣10(x﹣52)]=2000整理得x2﹣110x+3000=0解这个方程得x1=50,x2=60当x=50时,销售成本为40×[180﹣10(50﹣52)]=8000(元)∵8000>7200,∴x=50不合题意,应舍去当x=60时,销售成本为40×[180﹣10(60﹣52)]=4000(元)答:销售价应定为每件60元【点评】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是正确寻找等量关系,列出方程解决问题.22.小华为了测量楼房AB的高度,他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m,到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.小华的身高ED是1.6m,他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°,求楼房AB的高度.(计算结果精确到1m)(参考数据:sin15°=,cos15°=,tan15°=)【分析】作DH⊥AB于H,根据余弦的定义求出BC,根据正弦的定义求出CD,结合题意计算即可.【解答】解:作DH⊥AB于H,∵∠DBC=15°,BD=20,∴BC=BD•cos∠DBC=20×=19.2,CD=BD•sin∠DBC=20×=5,由题意得,四边形ECBF和四边形CDHB是矩形,∴EF=BC=19.2,BH=CD=5,∵∠AEF=45°,∴AF=EF=19.2,∴AB=AF+FH+HB=19.2+1.6+5=25.8≈26m,答:楼房AB的高度约为26m.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.23.如图,在▱ABCD中,AC⊥CD.(1)延长DC到E,使CE=CD,连接BE,求证:四边形ABEC是矩形;(2)若点F,G分别是BC,AD的中点,连接AF,CG,试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形?并证明你的结论.【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AB∥CD,AB=CD,求出CE∥AB,CE=AB,根据平行四边形的判定得出四边形ABEC是平行四边形,根据矩形的判定得出即可.(2)根据平行四边形的性质得出AD=CB,AD∥CB,求出AG=CF,根据平行四边形的判定得出四边形AFCG是平行四边形,求出AG=CG,根据菱形的判定得出即可.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵CD=CE,∴CE∥AB,CE=AB,∴四边形ABEC是平行四边形,∵AC⊥CD,∴∠ACE=90°,∴四边形ABEC是矩形;(2)四边形AFCG是菱形,证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥CB,∵点F、G分别是BC、AD的中点,∴AG=DG=AD,BF=CF=BC,∴AG=CF,∴四边形AFCG是平行四边形,∵∠ACD=90°,G为AD的中点,∴AG=CG,∴四边形AFCG是菱形.【点评】本题考查了直角三角形的性质,矩形的判定,平行四边形的判定和性质,菱形的判定的应用,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.24.如图,一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA,O恰好在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,按如图所示建立直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=﹣x2+bx+c表示,且抛物线经过点B(,2),C (2,).请根据以上信息,解答下列问题;(1)求抛物线的函数关系式,并确定喷水装置OA的高度;(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米?(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?【分析】(1)根据抛物线y=﹣x2+bx+c表示,且经过点B(,2),C(2,),可以求得抛物线的解析式,然后令x=0,求得y的值,即可得到OA的值;(2)将(1)中的函数解析式化为顶点式,即可求得喷出的水流距水面的最大高度;(3)根据题意和图象,求出抛物线与x轴的交点,即可得到水池半径的最小值.【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c表示,且经过点B(,2),C(2,),∴,解得,,∴抛物线y=﹣x2+2x+,当x=0时,y=,即抛物线的函数关系式是y=﹣x2+2x+,喷水装置OA的高度是米;(2)∵y=﹣x2+2x+=﹣(x﹣1)2+,∴当x=1时,y取得最大值,此时y=,答:喷出的水流距水面的最大高度是米;(3)令﹣x2+2x+=0,解得,x1=﹣0.5,x2=2.5,答:水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至于落在池外.【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,求出相应的函数解析式,利用二次函数的性质解答.25.(8分)△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=;(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.【分析】(1)分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积,进行比较即可;(2)按图1中甲种剪法,可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的,依此可知结果;(3)探索规律可知:,依此规律可得第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.【解答】解:(1)解法1:如图甲,由题意,得AE=DE=EC,即EC=1,S正方形CFDE=12=1 如图乙,设MN=x,则由题意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x,∴,解得∴又∵∴甲种剪法所得的正方形面积更大.说明:图甲可另解为:由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,S正方形OFDE=1.解法2:如图甲,由题意得AE=DE=EC,即EC=1,如图乙,设MN=x,则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x,则,解得,又∵,即EC>MN.∴甲种剪法所得的正方形面积更大.(2),.(3)解法1:探索规律可知:剩余三角形面积和为2﹣(S1+S2+…+S10)=2﹣(1++…+)=解法2:由题意可知,第一次剪取后剩余三角形面积和为2﹣S1=1=S1第二次剪取后剩余三角形面积和为,第三次剪取后剩余三角形面积和为,…第十次剪取后剩余三角形面积和为.【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质,得出甲、乙两种剪法,所得的正方形面积是解题的关键.26.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.动点P从点A出发沿AC向终点C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,到达A点时停止运动.点P也同时停止.点P,Q 运动速度均为每秒1个单位长度,连接PQ,设运动时间为t(t>0)秒.(1)当点Q从B点向A点运动时(未到达A点),①当t=秒时PQ∥BC②求△APQ的面积S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围;(2)伴随着P,Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l:①当l经过点A时,射线QP交AD于点E,求此时的t的值和AE的长;②当l经过点B时,求t的值.【分析】(1)①由题意得:BQ=AP=t,根据平行线分线段成比例定理得:,列关于t的方程,解出即可;②作高线PE,根据三角形面积公式可得:S关于t的函数关系式,并根据AB的长和点Q的速度确定t的取值范围;(2)①如图2,延长CD交QP于M,根据线段垂直平分线的性质可得:AQ=AP,即6﹣t=t,可得t的值,证明△AQP∽△CMP,列比例式可得CM的长,证明△AQE∽△DME,可得结论;②如图3,作辅助线,构建等腰三角形,根据平行线分线段成比例定理可得结论.【解答】解:(1)①由题意得:BQ=AP=t,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6,BC=8,∴AC=10,AQ=6﹣t,∵PQ∥BC,∴,∴,t=,则当t=秒时,PQ∥BC,故答案为:秒;②如图1,过P作PE⊥AB于E,sin∠BAC=,∴,PE=t,∴S△APQ=S=AQ•PE=(6﹣t)t=﹣+t(0<t≤6);(2)①如图2,延长CD交QP于M,∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A,∴AQ=AP,即6﹣t=t,∴t=3,∴AQ=AP=3,CP=10﹣3=7,∵AQ∥CD,∴△AQP∽△CMP,∴,∴,CM=7,∴DM=7﹣6=1,∵AQ∥DM,∴△AQE∽△DME,∴=,∵AE+DE=8,∴AE=6;②如图3,连接PB,过P作PG⊥AB于G,则PG∥BC,∵线段PQ的垂直平分线l经过点B,∴PB=BQ=t=AP,∴AG=BG,∴AP=PC=AC=5,∴t=5.【点评】本题是四边形综合题目,考查了矩形性质,等腰三角形性质,线段垂直平分线性质,勾股定理,相似三角形的性质和判定的应用等知识,主要考查学生分析问题和解决问题的能力,题目比较典型,但是有一定的难度.。

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