是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下：
设 f(x) 是自变量为 x 的已知连续函数，试求函数 y=y(x) 满足下列方程：
dy f (x)
(**)
dx
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二、微分方程的定义
方程（*）和方程（**）共同之处在于未知的都是函数，不 同处在于方程（*）中只有未知函数本身，而方程（**）中却出 现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而 且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干 社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往往不能 直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它 们和其变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数导 数的方程叫做微分方程.
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分析
了解有关物体温度变化的基本规律：热量 总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在 一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温 度在内），一个物体的温度变化速度与这一物 体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛 顿（Newton）冷却定律.
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ua
)
(1.1)
其中k是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未
知函数u及它的(一阶)导数
du dt
，这样的方程，就成为（一阶）微分方程
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改写（1.1）为：
d (u ua ) kdt (1.2) (u ua )
变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得到 ：
第一章 绪论
主要内容
序：什么是方程？ 微分方程及其应用 微分方程的基本概念 小结
重点：理解微分方程的解等基本概念。 难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。
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第一节 微分方程的定义
一、序及方程
在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程 和对数方程等等。 在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线 性代数方程组。 这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而 要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。但在高等 数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在 这类方程中，作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值， 而是一个函数。这类方程称为函数方程。
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三、物体冷却过程的数学模型
问题一：将某物体放置于空气中，在时刻 t 0 时，
测量得它的温度为 u0 150 0 C ，10分钟后测量得温度为 u1 100 0 C. 问题与要求：决定此物体的温度 u 和时间 t 的关系， 并计算20分钟后物体的温度。 基本假设：空气的温度保持为 ua 240 C .
ln(u ua ) kt c1 (1.3)
其中 c 是积分常数，对上式进行变形又得到： 1
u ua e ktc1
由此，令 c ec1 ，有：u ua cekt (1.4)
代入初始条件，并整理得到： 图解
u 24 126 e0.051t (1.5)
解曲线
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数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变 量和它们的导数(或微分)间的关系式.
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天气预报模型（Lorenz方程）和化学动力学模型等
人口增长模型（Logistic）:
天气预报模型（Lorenz方程）:
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dN
N
r(1 )N
dt
Nm


dx dt

a(
y

x),
dy

dt

xz

cx

y,a
10,b

8
3,c

28
dz dt
分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温
物体在低温环境中的温度变化过程和情况.
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问题二：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程).
O
d 2
dt 2


g l
s in
d 2
dt 2


m
d
dt

g l
s in

0
(有阻力)
A
M
P
Q
mg
d 2
微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．
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偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约关系的有力 工具．它的研究对象来源于数学的其它分支和自然科学及工 程技术中的有关问题．在本世纪中偏微分方程的理论取得了 重大进展，但是关于偏微分方程初始边值问题适定性的研究 还有许多问题．
dt 2

m
d
dt

g sin
l

1 ml
F (t)
(有阻力及外力）
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问题三
：R-L-C电路电流方程；ddt22I

R L
dI dt

I LC

0
问题四：R-L电路电流方程；
d2I I 0
dt2 LC
其它问题：人口模型、传染病模型、两种生物种群生态模型、

xy

bz,
假设：设物体在时刻的温度为 u u(t) ，则温度的变
化速度以
du dt
来表示。注意到热量总是从温度高的
物体向温度低的物体传导的。因而 u0 ua ，所以温
差 u0 ua 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故
温度变化速度 du 恒为负。因此由牛顿冷却规律得 dt
到：
du dt

k (u
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例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下， 由方程
F(x, y) 0 (*)
来确定隐函数，上述方程（*）是众所周知的隐函数方 程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数是所要求 的未知函数。
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在数学分析中，不定积分问题 F (x) f (x)dx ，实际上