⎰不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。

然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。

本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。

本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。

（这就不多说了~） 2.第一类换元法。

（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。

则其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。

当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

如例1、例2： 例1：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= 3.第二类换元法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有以下几种：（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。

但当根号内出现高次幂时可能保留根号，（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。

但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 4.分部积分法.公式：⎰⎰-=νμμννμd d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。

具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑： （1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx xx x ⎰-⋅231arccos【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则 例4：⎰xdx 2arcsin 【解】⎰⎰--=dxx xx x x xdx 22211arcsin 2sin arcsin上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律： 将以上规律化成一个图就是：（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中，常可以看到分部积分）5 不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。

被积函数⎰+dx xx 22cos sin 1上下同乘x sin 变形为令x u cos =，则为2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cos sin 22=+x x 的使用。

三角函数之间都存在着转换关系。

被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。

3. 函数的降次①形如的cos sin ⎰xdx x n m 积分（m ，n 为非负整数） 当m 为奇数时，可令x u cos =，于是()⎰⎰⎰----=-=du u ux xd x dx x x n m nm n m 21211cos cos sincos sin ，转化为多项式的积分当n 为奇数时，可令x u sin =，于是ν()⎰⎰⎰---==du u u x xd x xdx x u mn mnm21211sin cossincos sin，同样转化为多项式的积分。

当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如⎰xdx n tan 和⎰xdx n cot 的积分（n 为正整数） 令xdx u tan =，则u x arctan =，21u dudx +=，从而已转化成有理函数的积分。

类似地，⎰xdx n cot 可通过代换x u cot =转为成有理函数的积分。

③形如⎰xdx n sec 和⎰xdx m csc 的积分（n 为正整数） 当n 为偶数时，若令x u tan =，则21,arctan ududx u x +==，于是 已转化成多项式的积分。

类似地，⎰xdx n csc 可通过代换x u cot =转化成有理函数的积分。

当n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分有理函数)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)()(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。

（对各部分分式的处理可能会比较复杂。

出现⎰+=nn x a dx I )(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2----++-=n n n I n a n a x n a x I ）1.有理真分式化为部分分式之和求解 ①简单的有理真分式的拆分②注意分子和分母在形式上的联系 此类题目一般还有另外一种题型： 2.注意分母（分子）有理化的使用()()C x x x x x x dx++-+=--+=-++⎰⎰23233212132121412321232例5：dx x x x x x ⎰+--+223246)1(24【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 22322)1(241++-+x x x x x故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分万能公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+=2tan 12tan 1cos 2tan 12tan 2sin 222x xx x x x 化为有理函数可用变换2tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =⎰的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成xxx x sin cos cos sin 或。

再用待定系数 xb x a x b x a B x b x a A sin cos )sin'cos'()sin cos (++++来做。

（注：没举例题并不代表不重要~）（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。

如：同时出现x x +1和时，可令t x 2tan =；同时出现x x -1和时，可令t x 2sin =；同时出现x x arcsin 12和-时，可令x=sint ；同时出现x x arccos 12和-时，可令x=cost 等等。

（4）善于利用x e ，因为其求导后不变。

这道题目中首先会注意到x xe ，因为其形式比较复杂。

但是可以发现其求导后为x x xe e +与分母差x e ，另外因为x e 求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以x e 。

（5）某些题正的不行倒着来这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用x u sin =，然而这样的换元方法是解不出本题的。

我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当x u sin =这类一般的换元法行不通时尝试下x usin 1=。

这种思路类似于证明题中的反证法。

（6）注意复杂部分求导后的导数 注意到:()()()()()cx x e x x ct t e t t dte t t e t dt e t t e t t dt e t t e t e t dt et t t x tt tt t ttt t+---=+---=---------=-+∴⎰⎰⎰⎰ln ln 3ln ln 2ln ln ln 32ln 21213222261212ln 3322333322本题把被积函数拆为三部分：321,,y y y ，1y 的分子为分母的导数，2y 的值为1，3y 的分子为分母因式分解后的一部分。

此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。

（7）对于⎰=/++)0(),(2a dx c bx ax x R 型积分，考虑ac b 42-=∆的符号来确定取不同的变换。

如果0>∆，设方程02=++c bx ax 两个实根为βα,，令 ()∂-=++x t c bx ax 2，可使上述积分有理化。

如果0<∆，则方程02=++c bx ax 没有实根，令t x a c bx ax ±=++2，可使上述积分有理化。

此中情况下，还可以设c xt c bx ax ±=++2，至于采用哪种替换，具体问题具体分析。