是 1
预期收益率为1的前沿证券组合的权重向量。
（二）证券组合前沿
—证券组合前沿：经济中所有的前沿证券组合的
集合，我们称之为证券组合前沿。
—命题：全部证券组合前沿上的证券组合都可以
由两个前沿证券组合 和
的线性组合得出。
g
gw
g gw
—更强的命题：整个证券组合前沿可以由任意两
支收益率不同的前沿证券组合得出。
（二）在引入无风险证券情况下进行讨论
—现假定 是一支由所有J＋1种证券组合而成的
p 前沿证券组合， 表示这支前沿证券组合中的风
h 险证券权重的J 维向量。这样， 是以下规划问
题的一个解
p
hp
其中 仍然表示风险证券的预期收益率的J 维
min 1 h Vh 向量， 表示无风险证券的收益率。 T 2 —构造一个拉格朗日函数h，可求得
不是最小方差组合的证券组合称之为无效证券组合。
前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。
A C —任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有
效证券组合。因此有效证券组合的集合是一个凸组
合。
8.3 证券组合前沿的数学构造
—证券组合前沿的一个重要数学性质就是：除了
最小方差证券组合之外，对于证券组合前沿上的任
意一支证券组合 ，都必然存在着唯一的一支前
险证b券）在射线并运用r收f 益买入H无上风的险证(~r证券p 券组) 组合合涉而及得正。
e 值地购买风险证券组合 。 c）如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资
组合的有效集位于射线 rf H 。(~rp )
e
rf H (~rp )
引入无风险证券情况下考察任意一支证券与前沿
证券组合之间的关系（假设
(8.21)
E[~r ] 关系式。
我们总可以将证券组合
q
qzc( p
)
E [的~rz收c (益p )率]写成
qp
E
[
~rp
]
(8.23)
其中
q
~rq (1 qp )~rzc( p) qp~rp ~q
(8.26)
Cov(~rp , ~q ) Cov(~rzc( p) , ~q ) E[~q ] 0
空风险证券组合 ，同时以其收益买入无风险证
e 券的投资行为。 e）如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资
组合的有效集位于射线 rf H。 (~rp )
e
rf H (~rp )
rf H (~rp )
r A C 情形2：
—这是图8－5表示f 的图形。 （图见下页）
a）射线
上证券组合是通过卖空风
沿证券组合
（即零协方差证券组合），它
p 的收益率同证券组合 的协方差为0。
—最小方差证券组合与其它任意前沿证券组合之
间的协方差等于
zc( p) ，这也是严格正定的。从而
p 得到，最小方差证券组合与任意的前沿证券组合的
协方差都不为0。
—假定 是有效证券组合，
就是一只无
1C
p
zc( p)
效证券组合。将 同 反的结果成立。
p的位置互换，zc则(相p )
—从几何学的角度看，
的位置的确定：
在标准差－预期收益率的坐标系平上
是过证券前沿组合
zc( p 的切线在预期收益 )
率坐标轴上的截距。
—任意证券组合 （不要求是前沿组合）的预
期关收 系益特率征同：一支前沿证券组合的预期p收(益m率v之p除间的外)
其中： 是
之外的任意一支前沿证券组合，
s.t. hT e (1 hT 1)rf E[~rp ]
e
rf
(~r ) { E[~rp ]rf H
如果 E[~rp ]rf
风险也证即券是在，内在p的所有证券 的E证[~r券p坐]组标r合f平前面沿上是如，以包果括无E[
H 为顶点，斜率分别为 和
的两条射线。
~rp
]
r
f
情形1：
—a）这在是图图中8－4表点示是的射图线形。（(~r见p )pageE21[）~rp
E[R3 ]
n3
1 u (n) n!
(E[w~])m n
(w~)
E[ R3 ]
部分。
（二）均值－方差分析方法的使用条件和范围
—考察未来收益分布为任意分布的情况
a）此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值
和方差完全刻画，我们必须假定经济行为主体的效
用函数是一个二次型效用函数，即经济行为主体的
效用函数或以表达为
E[~rzc( p) ]
E[~rq ] (1 qp ) E[~rzc( p) ] qp E[~rp ] p mvp
(8.20)
Cov( （8.20）q式p 也可以写成 ~rq , ~rp ) / 2 (~rp )
关系E式[~r（q ]8.20(）1、（8q.2zc1(）p)、)（E8[.~r2p3]）是等q价zc的( p) E[~rzc( p) ]
b）第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行 为主体行为存在矛盾。
（三）讨论经济行为主体的效用偏好为任意偏好 的情况
—在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高 阶矩可以表示为均值和方差的函数，则我们就可以
使用均值－方差分析来考察经济行为主体的效用函
数。
—在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶
及三阶以上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均
—任意两支前沿证券组合 和 之间的协方
差为：
pq
Cov(~rp , ~rq )
h p T V hq
C D
(E[~rp ]
A C
)(
E[~rq
]
A) C
1 C
(8.11)
（三）均值－方差平面中的前沿组合 —关系式（8.11a）也可以等价地写成
2 (~rp )
1 D
(C (E[~rp ])2
2 AE[~rp ]
B)
(8.11b)
—最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组
合（不单是前沿证券组合）的收益率的协方差，总
是同最小方差证券组合收益率的方差相等。
—有效证券组合：在整个证券组合前沿曲线中，
所有那些预期收益率严格大于最小方差证券组合收
益率
的证券组合称之为有效证券组合；
—无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又
q
p
感谢下 载
值和方差）的函数。因此，
就可以完全地由
均值和方差表示。
—这样，如果经济行为主体的任意偏好是在正态
E [u 分布的时期1的财富上定义的，并且所有证券未来
收益满足多元正态分布，经济行为主体的效用函数
(
w~
)]
就都可以由时期1的收益的期望和方差来刻画。
—这种情况下，均值和方差对个体行为描述有相
当大的局限性，主要表现在以下几个方面：
证券组合的唯一权重集D合：
D
(8.7)
A 1T V 1e eTV 11
B eTV 1e
C 1T V 11
D BC A2
其中
hp g wE[~rp ]
(8.8)
—从以上（8.g8）式1人们D可[以B看(出V，11)是预期A(V 1e)]
w 1 D[C (V e) A(V 1)] 收益率为0的前沿证券组合的权重向量；1
a）第一，资产收益率服从正态分布的假定与现 实中资产未来收益往往偏向正值相矛盾。
b）第二，对于密度函数的分布来说，均值－方 差分析并没有考虑其偏斜度。
c）最后，仅仅用均值和方差也不能刻画函数分 布中的峭度。
8.2 证券组合前沿
—假定：
在一个无摩擦的经济中有
支风险证券，
这些证券可以自由地卖空，并且，所有证券的未来
1的J维向量。
—构造一个拉格朗日函h数T，e
解：
是E以[下~r函p 数]和式的 hT 1
1
E[~rp ]
hp
min ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（{其h,中,，} 和
12是h两T个Vh正值的常(E数[。~rp）]
hT e)
(1
hT 1)
—求解可得
(8.4)
其中
且—B＞我们0，可C以＞C得0，E出并[一且~r个p可预]以期断收定A益D率＞为0。(8.6的) 前沿 B AE[~rp ]
]
与风
险证券的组合前沿相切的切点。
(8.29)
H
rf A C
H
(0, rf )
e
rf H (~rp )
r e b）线段
上任意一支证券组合都是风险证
券组合 和无风险证f券的凸组合。
e c）在线段
之外的射线
上证
券组合都涉及卖空无风险证券并运用收益买入风险
r e 证券组合 的投资行为。f
d）在射线
上的证券组合涉及卖
—对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能 仅仅由预期收益（率）和方差这两个元素来描述。 所以均值－方差分析的运用是存在限制条件的。
（一）用泰勒展开式对均值－方差运用的局限性
进行说明
—随机变量 是经济行为主体在时期1的全部
w~ 收入或财富，其效用函数
在
围展开可得
的预期值周
u(w~) w~
不能—仅E其仅[中u由(对w~时)]期1财u则富(表E的示[期w~经望]济)均行值为2和1主!方u体差的(这E预两[期w~个效])用并2 (w~ ) E[R3 ] 元素完其全中刻画u，(E而[是w~应])该为包常括泰数勒,展开2式的高E阶(w~矩 E[w]) 2
第8章 均值－方差分析
第8章 均值－方差分析
8.1 偏好与分布
—一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预 期回报率的方差并不能包含经济行为主体投资行为 所需的全部信息。