设想用一张平面在x=0点把它们截开分为两半， 显然不影响浓度分布。这种情况可用来表示一端是 固壁的有限分布源的扩散。
b)t0, |x|≤h, c=c0；|x|>h, c=0；满足初始条件。
静水中一维初始有限源扩散演示
二、时间连续源
若污染物质的投放不是一次瞬间完成的，而 是持续一定时间，这样的污染源称为时间连 续源。
有限分布源
第三节 若干定解条件下一维扩散方程的解
1、集中源 2、起始分布源
1) 一维延伸分布源 2) 一维有限分布源
二、时间连续源
1）、一维延伸分布源
物理模型：在一条长管中，左端（x≤0）充满了浓 度均匀的红色染液，染液浓度为c0,管子的右端（x ＞0）装满清水。
在t =0时，突然开启隔离红色染液和清水的闸板。 管左端的红色染液立即向右端扩散。在x 正方向， 初始浓度具有瞬时源的特征。
1、一维扩散时间连续源
设源断面为空间坐标的原点，开始投放时刻为 时间起点。
c0
O
x
建立坐标系。扩散方程为：
c t

D
2c x2
,t

0,

x


初始条件：c(x,t) 0, x 0,t 0
c0 ,x0,t 0 边界条件：c(x,t)
0,x,t 0
由于左边的红色染液是无限延伸的，所以染 液只会沿x 方向扩散。
建立坐标系,一维扩散方程为：
c t

D
2c x2
,t

0,

x


定解条件：
x O
c(
x,0)

c0
,
x0
0,x0
误差函数
erf (z)
2

0zet 2 dt
性质：a)奇函数 erf (z) erf (z)
c0
( x )2
e 4Dt d
4Dt
类似地，可通过变量代换求解， 请同学们课后练习。
解法（2）
两个延伸分布源相减：
c(x, t) c1(x, t) c2 (x, t)
其中：
c1( x, t )

c0 2
[1 erf
(
xh 4Dt
)]
c2 (x,t)

c0 [1 erf 2
例题3：
如图，某足够长的河道，在某时刻的浓度分 布为C01=10 mg/L，C02=8 mg/L，求C(x,t)=? (已知 D＝2×10-5cm2/s)
C01=10 mg/L O
t=0
C02=8 mg/L
x
例3答案
c(x,t) c02 (x,t) c0102 (x,t)
其中： c02(x,t) 8mg / L
b) erf (0) 0,erf () 1
余误差函数定义为
erfc (z) 2 et2 dt 1 erf (z)
z
利用瞬时集中源一维分子扩散的结论求解。
dξ
-∞
c0 O
Ｐ
x
在右端x＞0的浓度场，可看成是各个dξ微元引 导的分浓度场的叠加。
源分解，再叠加x源自Pdξ-∞
c0102 (x, t)

c01
c02 2
erf c(
x) 4Dt
10 8 erfc(
x
)(mg / L)
2
4 2 105t
2) 一维初始有限分布源
如果初始分布不是一端无限，而是局限在一定范围中 间，如图，染料向两端扩散。
z dξ
c0
O
x
h
h
一维初始有限分布源浓度分布
c
dz
4Dt
变量代换
取 u x
4Dt
则
c(x, t) c0

x
eu2 du
4 Dt
c0 [1 erf ( x )]
2
4Dt
c0 erfc( x )
2
4Dt
浓度分布
初始浓度
c(x, t) c0 erfc( x )
2
4Dt
c c0 c0/2
o
扩散至t 时刻浓度 x
一维延伸源扩散演示
c0 O O
x
c
对于Ｐ点而言，该点的实际浓度
值是所有各个dξ扩散至这一点的浓
度之和。
O
x
单个dξ微元引导的浓度为：
dξ -ξ x
P
dc

d
S
c0
( x )2
e 4Dt
S 4Dt
-∞
c0 OO
积分求解：
0
c(x,t)
dc
c0
( x )2
e 4Dt d
c t

D
2c x 2
可得： 即：
C0
(

2t
df
d
1d2 f
t d 2
)
0
d2 f
d 2

2
df
d
0
经过变换，把扩散方程变成了常微分方程，求解
该方程，满足边界条件 x 0, f 1;
x , f 0
求解方法之一：
量纲分析法
设解为
C(x, t) C0 f (
x Dt
)

C0
f
( )
其中，无量纲变量 x
Dt
C0为恒定时间连续源的投放浓度。
于是：
C t
C0
f


t
而
x ( 1 ) 1
t D t t
2t
故 C C0 f C0 df
(
xh 4Dt
)]
所以： c(x,t) c0 [erf ( x h ) erf ( x h )]
2
4Dt
4Dt
讨论：
c(x,t) c0 [erf ( x h ) erf ( x h )]
2
4Dt
4Dt
a)分布曲线关于x=0 对称，且随着t 的增大，浓度分 布渐趋平坦；
t
2t
2t d
由于：
C
f
x C0 x
因为 故
1
x Dt
2C x 2

x
( C ) x
C0
( f ) x

x

C0
1 Dt
2 f
2
1 d2 f
C0 Dt d 2
将上述结果代入一维扩散方程中
ξ
cO
X
0
hh
设坐标原点在源的中间，则定解问题为：
c t

D
2c x2
,t

0
c c0,h x h,t 0
c 0, x h,t 0
x h,t 0
解法（1） ——源分解，再叠加
dc

d
S
c0
( x )2
e 4Dt
S 4Dt
h
c(x,t) h
环境水力学
Environmental Hydraulics 随流扩散方程的若干解析解
环境工程教研室 郑天柱
回顾 注意点：公式中的 x应理解为计算点P距排放点 的距离；t 应理解为距某一指定时刻的时段长。
一、瞬时源
1、集中源 2、分布源
一维分子扩散
c(x, t)
M
x2
e 4Dt
S 4Dt
一维分子扩散 延伸分布源