sin y ( y ) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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例2
dy y 已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
y 解 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x
( e sin v )du u cos vdv d x u ( e cos v )du u sin vdv d y
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
③J
( F , G) P (u , v)
0
P
则方程组 F ( x, y, u , v) 0 , G ( x, y, u , v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u ( x0 , y0 ) ,
( cos y x )
2
3
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x0 y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y ( x)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
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2 z 2 2 2 例 2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4

x x Fx z z2 2 z x Fz
二阶导数 :
Fx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx


2
x y x
2 Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy

Fx y Fy Fy y Fx
Fx ( ) Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
两边对 x 求导得
u 这是关于 , x
u v Fx Fu Fv 0 x x Gx Gu u Gv v 0 x x v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
x y d( ) 0 F1 d( ) F2 z z z d x xd z zd y y d z F1 ( ) )0 F ( 2 2 2 z z dy F1d x F2 xF1 y F2 d z z z2 z d y) dz (F1d x F2 x F1 y F2
d y dx 2 x 0
2
F ( x, y ) sin y e x x y 1,
Fx e y, Fy cos y x
x
d ex y ( ) d x cos y x

( e x y )(cos y x) (e x y )( sin y y 1)
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u ( x, y ) , v v( x, y ), 且有偏导数公式 :
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Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv 定理证明略.仅 Fu Fy 1 v 1 ( F , G ) 推导偏导数公 Fu Fv Gu G y y J ( u, y ) 式如下： Gu Gv
Fu Fv 系数行列式 J 0 , 故得 Gu Gv
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u v Fx Fu Fv 0 x x Gx Gu u Gv v 0 x x v 1 ( F , G ) u 1 ( F , G ) x J ( u , x ) x J ( x, v )
② F (0,0) 0 , ③ Fy (0,0) 1 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在一个可 导的隐函数 且
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x Fx dy e y cos y x x 0, y 0 d x x 0 Fy x 0
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z F1 z y x x F1 y F2 x ( 2 ) F1 ( 2 ) F2
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v )
v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
说明：定理的叙述及计算公式都比较麻烦，实际 计算中一般不套公式，而用推导公式的方法。
u u v v , , , . 例4. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 2 y x y y x v xu y v u 1 u y xu yv 2 2 2 y x y 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J
z
z
F1 1 z
z y x y F1 ( 2 ) F2 ( 2 )
z z
1 F2 z
z F2 x F1 y F2
故
Fx z z z z (F1d x F 2d y) dz dx d y x F1 y F2 x x y Fz
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u x e u sin v 例：设 u y e u cos v 解：将方程两边取微分得
u u v v 求 , , , . x y x y
u d ( e ) d ( u sin v ) e ud u ( sin vdu u cos vdv ) dx u 整理得 e d y d u ( cos vdu u sin vdv )
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例1. 验证方程
可确定一连续导数的隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ,
及求导方法问题 .
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数 由方程 F ( x , y ) 0
dy 所确定的 y 是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求 dx 例如： y x e y x 0
d y d (x e y) 两边对 x 求导 1 0 dx dx y dy e 1 dy y y d y ( e xe ) 1 0 , d x 1 xe y dx dx
第五节 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
满足
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz Fy z y Fz
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同理可得
2 z 2 2 2 例 2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
机动
2 2
x y y x 则 Fx ( x , y ) 2 , Fy ( x , y ) 2 , 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy
定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个连续函数 z = f (x , y) , 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,