第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。
2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。
解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。
(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。
得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。
（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。
（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。
（4）码距越大，纠、检错能力越强。
3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。
已知码元错误概率为410e p -=。
解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。
解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4 汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。
解：汉明码的信息码元为六个，即：6k =。
监督码元数r 应符合下式：217rk r r ≥++=+ 取满足上式的最小r ：4r =，即为(10，6)汉明码。
其码字由10个码元构成：12345678910x x x x x x x x x x 。
先设计校验表根据校验表写出校验子方程：****11237****21458****32469****435610s x x x x s x x x x s x x x x s x x x x ⎧=⊕⊕⊕⎪=⊕⊕⊕⎪⎨=⊕⊕⊕⎪⎪=⊕⊕⊕⎩ 写出监督方程，即监督码元与信息码元之间的关系：71238145924610356x x x x x x x x x x x x x x x x =⊕⊕⎧⎪=⊕⊕⎪⎨=⊕⊕⎪⎪=⊕⊕⎩根据监督方程编码，写出（10)：7. 已知纠正一位错的（7，4）汉明码的生成矩阵为：10001100100101[]00100110001111G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1）请写出其监督矩阵； 2）请写出其校验表；3）对信源序列1110，1010，0110，...进行编码；4）对接收端接收到的码字序列0011101，1100100，1011001，…进行译码。
解：1）监督矩阵：右边3×3是单位阵，左边3×4子阵是生成矩阵右边4×3子阵的转置：1101100[]10110100111001H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2）校验表：每个校验子列向量对应为监督矩阵的列向量，增加一个无差错列向量000。
3）根据[][][]C X G =⋅编码：1234567123410001100100101[][]00100110001111x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦或者用由监督矩阵得到的监督方程编码：12345671101100[]10110100111001x x x x x x x H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦512461347234x x x x x x x x x x x x =⊕⊕⎧⎪⇒=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩编码得：1110000，1010101，0110110，…4）根据校验子方程（校验子方程是监督方程左右两边异或）：****11245****21346****32347s x x x x s x x x x s x x x x ⎧=⊕⊕⊕⎪=⊕⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⊕⎩ 0011101 → [S]=[001]T → x 7*错 → 0011100 → 00111100100 → [S]=[111]T → x 4*错 → 1101100 → 1101 1011001 → [S]=[011]T → x 3*错 → 1001001 → 1001 译码得：0011，1101，1001，…8. （7，4）循环码的生成多项式为：32()1g x x x =++1）写出其监督矩阵和生成矩阵；2）对信息码元0110，1001进行编码，分别写出它们的系统码和非系统码； 3）对接收端接收到的系统码字0101111，0011100进行译码。
解：1）生成矩阵：生成多项式系数降幂排列：1101，补零成n 位的行向量：1101000，循环移位成k 行的矩阵： 4711010000110100[]00110100001101G ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦监督矩阵：校验多项式系数升幂排列：10111，补零成n 位的行向量：1011100，循环移位成r 行的矩阵：371011100[]01011100010111H ⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2）根据[][][]C X G =⋅编码：111010000110100[C ][0110]00110100001101⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦得非系统码字：0101110，1100101根据多项式除法（长除法见第9题解答）编码得系统码字：0110100，1001011，具体方法如下： 0110 m (x ) = x 2+x x r m (x ) = x 5+x 454223232()()11r x m x x x x x g x x x x x +==+++++ 542()()()r C x x m x r x x x x =+=++→ 01101001001 m (x ) = x 3+1 x r m (x ) = x 6+x 363323232()11()11r x m x x x x x x x g x x x x x ++==++++++++ 63()()()1r C x x m x r x x x x =+=+++→ 10010113）生成多项式为g (x ) = x 3+x 2+1的（7,4）循环码校验表（获取方法见第9题解答）0101111写成多项式，除以生成多项式得余式1， → [S]=[001]T ，查表知C 0*错，即0101111 → 0101110，去尾部3位监督码元，得信息码元0101 。
53223232+11+11x x x x x x x x x x +++=+++++0011100写成多项式，除以生成多项式得余式x 2+x ，→ [S]=[110]T ，查表知C 6*错，即0011100 →1011100，去尾部3位监督码元，得信息码元1011。
9. 已知（7，4）循环码的生成多项式为：32()1g x x x =++当收到一循环码字为0010011时，根据校验子判断有无错误？哪一位错了？ 解：32()1g x x x =++对信息码元0001用多项式除法编码得循环码字：0001101。
将0001101错成0001100，除以生成多项式得余式1，s 2s 1s 0=001表示C 0*错。
将0001101错成0001111，除以生成多项式得余式x ，s 2s 1s 0=010表示C 1*错。
将0001101错成0001001，除以生成多项式得余式x 2，s 2s 1s 0=100表示C 2*错。
……将0001101错成1001101，除以生成多项式得余式x 2+x ，s 2s 1s 0=110表示C 6*错。
写出校验表：当收到一循环码字0010011时其对应的多项式为: 41x x ++。
列竖式做多项式除法（以下左式）：32433322111x x x x x xx x x x ++++++++32433232111x x x x x xx x x x +++++++++得余式为2x ，s 2s 1s 0=100，表示C 2*错，即右起第三位错，正确的码字应为0010111，其对应的多项式为：421x x x +++。
将此多项式进行验证（上式右式），余式为0，可见正确。
10. 已知（3，1，3）卷积码的监督方程为：,-1,-2a i i i b ii i p m m p m m =+⎧⎨=+⎩或者：已知（3，1，3）卷积码的基本监督矩阵：0[]H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0 0 1 0 0 1 1 01 0 0 0 0 0 1 0 1 对信源序列010110…进行编码。
解：对于（3，1，3）卷积码，若输入信息码元： m i -2 , m i -1, m i , …，则编码后码字： m i -2, p a,i -2, p b,i -2, m i -1, p a,i -1, p b,i -1, m i , p a,i , p b,i , …根据监督方程编码得：000，111，010，110，101，011， （默认初始化状态为0）11. 已知（4，3，3）卷积码的基本监督矩阵：[][]110010101111H =，对输入信息码元:101100110111…进行编码。
解：根据k = 3分组，计算1位监督码元置于后，得卷积码字：1010，1001，1100，1111，… （提示：编码后的码字形式为：***012034516782a a a p a a a p a a a p 根据监督矩阵知其计算方法，前三个码字计算为：*0012p a a a =⊕⊕*102345 p a a a a a =⊕⊕⊕⊕*20135678 p a a a a a a a =⊕⊕⊕⊕⊕⊕第四个码字起，移动对应位置使p 2*为当前要求的监督码元，计算为：*20135678 p a a a a a a a =⊕⊕⊕⊕⊕⊕）作业：1、3、4、7、8、10、11。