专题30圆的方程一、 考纲要求：1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 二、 概念掌握和解题上注意点 ： 1.求圆的方程的两种方法1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 2待定系数法：① 若已知条件与圆心 a , b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关 于a , b , r 的方程组，从而求出 a , b , r 的值.② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E , F 的方程组，进而求出 D, E , F 的值.2. 与圆有关的最值问题的三种几何转化法v — b1形如口=形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题x — a2形如t = ax + by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题3形如 m= x — a 2+ y — b 2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方 的最值问题.3. 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 1) 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解 2) 定义法：根据圆的定义列方程求解.3) 几何法：利用圆的几何性质得出方程求解 .4) 代入法 相关点法：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.三、 高考考题题例分析与该圆相交于A , B 两点，则△ ABC 的面积为【答案】例1. (2020天津卷) 已知圆x 2+y 2 - 2x=0的圆心为 C ,直线,(t 为参数)【解析】；圆梓诺-2E 化为标准方程是(x-1):坪也 圆心为C <1, 0)」半径Ej化为普通方®S K +Y-2=0,t1 A-2X 2-\AABC 的面积为 S=l.|AB|.d=i2故答叫•例2. (2020江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线I : y=2x 上在第一象限内的点，B(5, 0)，以AB 为直径的圆C 与直线I 交于另一点D.若1=0,则点A 的横坐标为 ________________ . 【答案】3【解析】：设A ( a , 2a ), a >0, ••• B (5, 0), ••• C ( ' , a ),2则圆 C 的方程为(x - 5) (x - a ) +y (y - 2a ) =0.、Cx-5) (x-a)+y (y-2a)=C联立，解得D (1, 2).屁厉二(5-& -2a>〔音L 2-Q 茲辿乜宀削2_ 2= .解得：a=3或a= - 1. 又 a > 0, • a=3. 即A 的横坐标为3. 故答案为：3.例3.(2020高考山东卷)一条光线从点 2, 3射出，经y 轴反射后与圆直线y= L则圆心f 到该宜线的距离为d Jl±0z2j_j/l ?■二 2裁Lx 逅X 唾丄・2 2 2V2(jc+3 T + (v —21 =】■相切，则反射光线所在直线的斜率为( )(A) 5或3(B) 3或2(C) 5或4(D) 43 5 2 345 3或34【答案】D【解析】由光的反射原理知， 反射光线的反向延长线必过点 2, 3 ,设反射光线所在直线整理：•…■「一-，解得：k 4，或k 3 ,故选D.346.直线x — 3y + 3 = 0与圆(x — 1)2+ (y — 3)2= 10相交所得弦长为(A.30C. 4 '2 【答案】A|1 — 3X 3+ 3|【解析】圆心(1,3)到直线的距离为件32=2 ，从而得所求弦长为将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为2y + 1 = 0,即y =—；&在平面直角坐标系中，直线 y = ；'2x 与圆O x 2 + y 2= 1交于A, B 两点，a ,卩的始边 是x 轴的非负半轴，终边分别在射线 OA 和OBh,则tan( a +卩)的值为( )A. — 2 ..'2 C. 0 【答案】A为(A.；3B. 1 y = —4y = —2 C.3D.1y =__—2y = —4【答案】B【解析】圆 2 2 (x — 1) + y = 1 的圆心为(1,0) ，半径 :为1,7.过点(1 , — 2)作圆(x — 1)2 + y 2= 1的两条切线，切点分别为 以 1— 1 2+ — 2 — 0 2= 2为直径的圆的方程为 (x — 1)2+ (y + 1)2= 1,的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为:kx — V — 2 Ac — 3= 0 ，即：又因为光线与圆相切,(x+3)a +(y-2)：=l所以,A, B,则AB 所在直线的方程B. — .2 D. 2 '2【解析】由题可知 tan a = tan 卩=p 2，那么tan( a +卩)=门+上暮_牛=—2冷迈,故选A. 9.已知圆C ： 2 2x + y + 2x — 4y + 1 = 0的圆心在直线 ax — by + 1= 0上，贝U ab 的取值范围是 A. ——OO1B — OO — B , 8 C. 1 D. 0, 8【答案】【解析】把圆的津稈优抹标徨浄程为U-F 1);+紗一2)：=4? 二圆心的坐样为(一 1卫)，半径尸=乙 "；0(?的圖心在直鳗口一勿+1=0上.…一口一即 0=1 —% 则血=凤1—羽=_防+&注*血椒丸也欣大氓B.=4上的动点,则ab 的取值葩国灵J — 8,2 10.设 P 是圆(x — 3) + (y + 1) Q 是直线x =— 3上的动点，贝U | PQ 的最小值A. 6B. 4C. 3 J =-3 丫 iQ 1 ~nVD. 2【答案】B【解析】如图所示，圆心 M 3 , —1)与直线x =— 3的最短距离为| MQ = 3— ( — 3) = 6, 又圆 的半径为2,故所求最短距离为6 — 2 =4.则(x — 5)2+ (y + 4)2的最大值为 (A. 6B. 25C. 26D. 36【答案】D【解析】(X — 5)2 + (y + 4)2表示点P (x , y )到点(5 , - 4)的距离的平方.点(5 , - 4)到圆心(2,0)的距离 d =5-2+ - 4= 5.则点P (x , y )到点(5 , - 4)的距离最大值为6，从而(X -5)2+ (y + 4)2的最大值为36.. . 2 212. 过动点M 作圆：(X - 2) + (y -2) = 1的切线MN 其中N 为切点，若| MN = I MO O 为坐 标原点)，则| MN 的最小值是A.C ：'2 【答案】B［解析】设圜心0(2,因为|掘¥= 所锻L 的=悶即一1 = Wp.设 姻旳 心 碍伏一2尸十0'—即一1=处+产 此简得-4^+4}—7=0,帥为点丄T 的轨迹方稈，fl'l .VA -的彘小值为检最心值,即点O 到直錢张+和一了=0曲趾臥 所以証畑=~^二-=斐,故选V16416 s二、填空题13. __________ 已知点 M 1,0)是圆C ： X 2+ y 2-4x -2y = 0内的一点，那么过点 M 的最短弦所在直线的 方程是 ____ .【答案】x + y - 1 = 0【解析】圆C ： x 2+ y 2-4x - 2y = 0的圆心为C (2,1),•••过点M 的最短弦与CM 垂直，•••最短弦所在直线的方程为 y — 0 = — 1X( x - 1)，即x + y - 1 =0.14 .在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx- y - 2m- 1 = 0( m€ R)相切的 所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _____________ . 【答案】(x — 1)2 + y 2 = 2【解析】因为直线 mx- y — 2m- 1 = 0恒过定点(2 , — 1)，所以圆心(1,0)到直线 mx-y - 2m —1 = 0的最大距离为d =2— 1 2+ — 1 — 0 2=丈2，所以半径最大时的半径r = 2,所以半径最大的圆的标准方程为(x — 1)2+ y 2= 2.15 .若圆x 2+ y 2= 4与圆x 2 + y 2 + 2ay — 6= 0(a >0)的公共弦长为 2羽，贝U a = __________ .B.D.D 2+E 2— 4F.在圆的方程中，令 x = 0，得y 2 + Ey + F = 0.【答案】1【解析】两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为 y =£如图，由已知得|AQ =J 3,I OA = 2,1••丨 OC = a = 1，…a = "I.16. —个圆与y 轴相切，圆心在直线x — 3y = 0上，且在直线y = x 上截得的弦长为2 ：7,则 该圆的方程为 ______________ .2 2 2 2【答案】x + y — 6x — 2y + 1 = 0 或 x + y + 6x + 2y + 1 = 0【解析】 法一；T 所求圆的圆心在直线.L 4=0上" 「•设所求圆的圆心为（3皿a ）f 孔斯狀圆与丁韜相切■二半径T=5戈所求圆在直銭丁=工上栽得的弦也弐珂％阖心0也的距篱・击+（岳=心即・'山=±1.故所求_圆的方程处（x —3尸+0-—1，=9或［工+3严+°+1严=9.法二：设所求圆的方程为（x — a ）2+ （y — b ）2=r 2,则圆心（a, b ）到直线 I a — b |y = x 的距离为丄才,2 a — b22• r = ---- 2 + 7,即卩 2r = (a — b ) +14.①由于所求圆与y 轴相切，•••『= a 2,②又•••所求圆的圆心在直线 x — 3y = 0 上, • a — 3b = 0,③a = 3,联立①②③，解得 b = 1,r 2= 9a = 一 3,或 b =— 1.r 2= 9.故所求圆的方程为（x + 3） 2 2 2(y + 1) = 9 或(x — 3) + (y — 1) = 9.法三：设所求的圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,则圆心坐标为D,- f ，半径 r =-1由于所求圓药y軸拥切,AJ=O f则圧=4F①异,一字到直践r=r的距离为d=—,2厂^ 讥由巴知得出+(曲尸=曲ap(n-£y+ 5c=2(i>+^-47).②又圆心(-聲F一导茯瓦践.;一打=0上，二。

一见=0③2 2 2 2 故所求圆的方程为x + y - 6x —2y+ 1 = 0或x + y + 6x + 2y + 1 = 0.22.已知圆C的方程为x1 2+ (y —4)2= 4,点0是坐标原点，直线I : y = kx与圆C交于M N 两点.(1) 求k的取值范围；1(2) 直线I能否将圆C分割成弧长的比为3的两段弧？若能，求出直线I的方程；若不能，请说明理由•【答案】⑴(―汽―3) U( 3,+^);(2) 见解析【解析】⑴将J；=h代人園亡的污稈/+□；—»=斗一得(1+库斤一8抵+12=0丁直线/坊國亡炎于M扎閒点,二山={—肚)二一4X 12(1十梓)丸，潯心,(*) .1片药取值范禺是{ —g —詰)U(诟，+8)・1(2)假设直线I将圆C分割成弧长的比为3的两段弧,则劣弧M所对的圆心角/ MC#90°,由圆C: x + (y—4) = 4 知圆心C(0,4)，半径r = 2.在Rt△ MCN中,可求弦心距d= r • sin 45 ° =2,因此，存在满足条件的直线l，其方程为y =±7x.2 211. 设F(x, y)是圆(x —2) + y = 1上的任意一点,1 + k = 8, k =±7,经验证k =±7满足不等式(*),故l的方程为y=±7x.故圆心C(0,4)到直线kx—y= 0的距离J?——6t。