鲁教版八年级数学上册5.3三角形的中位线能力提升练习题（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，BC＝15，B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是（）A．45B．55C．67.5D．1352．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC 于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP ＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图：在△ABC中，AB＝25，BC＝24，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝3.5，那么△ACD的周长是（）A．28B．28.5C．32D．364．如图，以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，则的值等于（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF，D为AB中点，连接DF并延长交AC与点E，若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF 长度的可能为（）A．2B．5C．7D．97．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD ＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A．50°B．25°C．15°D．208．数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的输助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以9．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．310．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（）A．8B．9C．10D．12二．填空题（共10小题）11．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC＝2，则DE的长是．12．如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为．13．如图，小慧与小聪玩跷跷板，跷跷板支架EF的高为0.4米，E是AB的中点，那么小慧能将小聪翘起的最大高度BC等于米．14．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC ＝6，则HE＝．15．如图，△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，BC＝EG．若AC＝BC＝10，AB＝16，则四边形AECG的面积是．16．连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为：．17．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．18．如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为．19．如图，点A（0，4）、B（2，0），点C、D分别是OA、AB的中点，在射线CD上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为．20．如图，△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点，若S△CMN＝2，则S四边形ABNM＝．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF＝AD．22．如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．24．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．求证：．证明：．25．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．26．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．27．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．28．如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG．（1）求EF的长．（2）求DG的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，BC＝15，B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是（）A．45B．55C．67.5D．135【解答】解：当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1＝BC；当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2＝BC+BC；…当B1，B2，C1，…，∁n分别是AB，AC的n等分点时，B1C1+B2C2+…+B n﹣1B n﹣1＝BC+BC+…+BC＝BC＝7.5（n﹣1）；当n＝10时，7.5（n﹣1）＝67.5；故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是67.5．故选：C．2．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC 于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP ＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①∵CE平分∠ACE，∴∠ACP＝∠MCP，∵AM⊥CE，∴∠APC＝∠MPC＝90°，∴∠CAM＝∠CMA，∴AC＝CM，∴AP＝PM，①正确；②同理得：BN＝AB＝6，∵CM＝AC＝5，∴BC＝BN+CM﹣MN＝6+5﹣2＝9，②正确；③∵∠BAC＝∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③正确；④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，∵AB＝6≠AC＝5∴∠ABC≠∠ACB，∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；所以本题不正确的有④，故选：D．3．如图：在△ABC中，AB＝25，BC＝24，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝3.5，那么△ACD的周长是（）A．28B．28.5C．32D．36【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC＝2DE＝7，AC∥DE，AC2+BC2＝72+242＝625，AB2＝252＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝32，故选：C．4．如图，以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取BC的中点H，连接BE、FH、GH，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，∴∠BDC+∠DBE＝∠BDA+∠ABD＝90°，∴BE⊥CD，又∵F、G分别是线段BD和CE的中点，∴FH、GH分别是△BCD和△BCE的中位线，∴FH∥CD且FH＝CD，GH∥BE且GH＝BE，∴△HFG是等腰直角三角形，∴＝，∴＝．故选：B．5．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF，D为AB中点，连接DF并延长交AC与点E，若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵AF⊥BF，D为AB的中点，∴DF＝DB＝AB＝6，∴∠DBF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∴∠DFB＝∠CBF，∴DE∥BC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝10，∴EF＝DE﹣DF＝10﹣6＝4，故选：B．6．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF 长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．7．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD ＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A．50°B．25°C．15°D．20【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，∴∠PMN＝＝25°．故选：B．8．数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的输助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以【解答】解：小丽：如图1，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，AF，FC，∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD＝CF，AD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；小亮：如图2，过点E作EG∥AB，过点A作AF∥BC，AF与GE交于点F，∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，在△AEF和△CGF中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝CG，EF＝EG，∵AF∥BG，AB∥FG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB＝FG，∵BD＝AB，GE＝FG，∴BD＝EG，∵BD∥EG，∴四边形DBGE是平行四边形，∴DE∥BG，DE＝BG，∴DE∥BC，DE＝BC，∴小丽和小亮的辅助线作法都可以，故选：A．9．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．3【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ACED是平行四边形，∵BC＝3，AD ＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，故选：C．10．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（）A．8B．9C．10D．12【解答】解：连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE＝DE，在△AEB和△KED中，，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG＝BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG＝AD，∴EG+GF＝（AD+BC），∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，∴EG+GF＝6，FE＝3，∴△EFG的周长是6+3＝9．故选：B．二．填空题（共10小题）11．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC＝2，则DE的长是1．【解答】解：∵DE∥BC，AD＝DB，∴AE＝EC，∴DE＝BC＝1，故答案为1．12．如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为3．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝，又∵△ADE的面积是1，∴△ABC的面积为4，∴四边形DBCE的面积＝4﹣1＝3．故答案为：3．13．如图，小慧与小聪玩跷跷板，跷跷板支架EF的高为0.4米，E是AB的中点，那么小慧能将小聪翘起的最大高度BC等于0.8米．【解答】解：当EF∥BC时，BC最大，∵E是AB的中点，EF∥BC，∴BC＝2EF＝0.8米，故答案为：0.8．14．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC ＝6，则HE＝．【解答】解：连接PQ．∵BD＝DC＝3，BE＝BC＝，EC＝，∵AQ＝QE，AP＝PC，∴PQ∥EC，PQ＝EC＝，∵∠QPG＝∠GHD，∠QGP＝∠DGH，QG＝GD，∴△PQG≌△HDG（AAS），∴PQ＝HD＝，BH＝BD﹣DH＝3﹣＝，∴HE＝BE﹣BH＝﹣＝，故答案为．15．如图，△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，BC＝EG．若AC＝BC＝10，AB＝16，则四边形AECG的面积是48．【解答】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴EF＝BC，∵AC＝BC，∴EF＝AC，CE⊥AB，∵EG＝BC，∴EG＝2EF，∴EF＝FG，∵AF＝CF，∴四边形AECG是矩形，∵AE＝AB＝8，AC＝10，∴CE＝6，∴四边形AECG的面积＝8×6＝48，故答案为：48．16．连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为：1：4．【解答】解：如图所示：∵D、E、F分别AB、AC、BC的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，∴DE＝BC，EF＝AB，DF＝AC，∴＝，∴△DEF∽△CBA，∴△DEF的面积：△CBA的面积＝（）2＝．故答案为：1：4．17．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 1.5．【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故答案为：1.518．如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为 2.5．【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11，∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，∴MN＝DE＝2.5．故答案为：2.5．19．如图，点A（0，4）、B（2，0），点C、D分别是OA、AB的中点，在射线CD上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为（6，2）或（1+，2）．【解答】解：∵点A（0，4），点B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，∴由勾股定理得：AB＝＝2，∵点C，D分别是OA，AB的中点，∴AC＝OC＝2，CD＝1，AD＝BD＝，①当∠APB＝90°时，∵AD＝BD，∴PD＝AD＝，∴PC＝CD+PD＝1+，∴P（1+，2），②当∠ABP＝90°时，如图，过P作PM⊥x轴于M，则△ABO∽△BPM，∴＝＝＝1，∴BP＝AB＝2，∴PM＝OB＝2，∴BM＝4，∴PC＝OM＝4+2＝6，∴P（6，2），故答案为：（6，2）或（1+，2）．20．如图，△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点，若S△CMN＝2，则S四边形ABNM＝6．【解答】解：∵M、N分别为AC，BC的中点，∴NM∥AB，AB＝2MN，∴△CMN∽△CAB，∴＝（）2＝，∵S△CMN＝2，∴S△ABC＝8，∴S四边形ABNM＝8﹣2＝6，故答案为：6．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF＝AD．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形DEAF是平行四边形，∵∠CAB＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD．22．如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF＝FH∥EC，FH＝∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°24．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．求证：OA＝OF，OD＝OE．证明：连接DF、EF，∵D、F分别是AB、BC的中点，∴DF∥AC，同理可得：EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴OA＝OF，OD＝OE，即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．【解答】求证：OA＝OF，OD＝OE，证明：连接DF、EF，∵D、F分别是AB、BC的中点，∴DF∥AC，同理可得：EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴OA＝OF，OD＝OE，即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．25．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，∴CD＝EF．26．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．【解答】解：∵∠BAC＝54°，AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠BAC＝27°．∴∠BGA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAG＝83°，又∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AFD＝∠BGA＝83°．27．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3＝﹣1+3；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°．28．如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG．（1）求EF的长．（2）求DG的长．【解答】解：（1）连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，（2）∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝＝．。