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习题一 ................................................... 错误!未定义书签。

习题二 ................................................... 错误!未定义书签。

习题三 ................................................... 错误!未定义书签。

习题四 ................................................... 错误!未定义书签。

习题五 ................................................... 错误!未定义书签。

习题六 ................................................... 错误!未定义书签。

习题七 ................................................... 错误!未定义书签。

习题八 ................................................... 错误!未定义书签。

部分有图形的答案附在各章PPT文档的后面，请留意。

习题一讨论下列问题：（1）在例中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5台，利用率为,设备B有7台，利用率为,其它条件不变，数学模型怎样变化．（2）在例中，如果设x j(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．（3）在例中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路．（4）在例中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．（5）在例中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．工厂每月生产A、B、C三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示．表1－22130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：表1－23 窗架所需材料规格及数量问怎样下料使得（1【解】 第一步：求下料方案，见下表。

设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为14112342567891036891112132347910121314min 2300322450232400232346000,1,2,,14jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩∑ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为134131412342567891036891112132347910121314min 0.60.30.70.40.82300322450232400232346000,1,2,,14j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。

A 、B 两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时．每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售赢利，其余的只能加以销毁．出售单位产品A 、B 、C 的利润分别为3、7、2元，每单位产品C 的销毁费为1元．预测表明，产品C 最多只能售出13个单位．试建立总利润最大的生产计划数学模型．【解】设x 1,x 2分别为产品A 、B 的产量，x 3为副产品C 的销售量,x 4为副产品C 的销毁量，有x 3+x 4=2x 2,Z 为总利润，则数学模型为123412122343maxZ=3+7+2211231720130,1,2,,4j x x x x x x x x x x x x x j -+≤⎧⎪+≤⎪⎪-++=⎨⎪≤⎪≥=⎪⎩某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过万元； 方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型. 【解】是设x ij 为第i 年投入第j 项目的资金数，变量表如下数学模型为112131122334111211212312213134122334max 0.20.20.20.50.60.3300001.2300001.5 1.2300002000015000100000,1,,3;1,4ij Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++++⎧+≤⎪-++≤⎪⎪--++≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎪≤⎪≥==⎪⎩最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z ＝84720IV 发展公司是商务房地产开发项目的投资商．公司有机会在三个建设项目中投资：高层办公楼、宾馆及购物中心，各项目不同年份所需资金和净现值见表1－24．三个项目的投资方案是：投资公司现在预付项目所需资金的百分比数，那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金，也获得同样比例的净现值．例如，公司按10％投资项目1，现在必须支付400万，今后三年分别投入600万、900万和100万，获得净现值450万．公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万，一年后2000万，两年后2000万，三年后1500万．当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用．IV 公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分比，使其投资获得的净现值最大．表1－24【解】以1％为单位，计算累计投资比例和可用累计投资额，见表（2）。

表（2）设x j 为j 项目投资比例，则数学模型：123123123123123max 457050408090025001001601404500190240160650020031022080000,1,2,3j Z x x x x x x x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪⎪≥=⎩ 最优解X ＝（0，，）；Z=万元年份实际投资项目1比例：0项目2比例：项目3比例：累计投资(万元) 00102030净现值0图解下列线性规划并指出解的形式：(1)12 121212max2131,0Z x x x xx xx x=-++≥⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩【解】最优解X＝（1/2，1/2）；最优值Z=－1/2(2)12 121212min3 22 23120,0Z x xx xx xx x=---≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4(3)12 1212121212min32211410 2731,0Z x x x xx xx xx xx x=-++≤⎧⎪-+≤⎪⎪-≤⎨⎪-≤⎪⎪≥⎩【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10(4) 121212112max 3812223,0Z x x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 【解】最优解X ＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4(5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥≥-+=0,6322min 21212121x x x x x x x x Z 【解】最优解X ＝（3，0）；最优值Z=3(6) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥≥-+=0,6322max 21212121x x x x x x x x Z【解】无界解。

(7)12121212min 25262,0Z x x x x x x x x =-+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩【解】无可行解。

(8)12 1211212max 2.52 280.5 1.5210,0Z x x x xxx xx x=++≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13将下列线性规划化为标准形式 (1)123123123123123max 423205743103650,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≤⎧⎪-+≥⎪⎨++≥-⎪⎪≥≥⎩无限制【解】（1）令654''3'33,,,x x x x x x -=为松驰变量 ，则标准形式为'''1233'''12334'''12335'''12336'''1233456max 42332057443103665,,,,,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--+⎧++-+=⎪-+--=⎪⎨---++=⎪⎪≥⎩ (2) 123123112123min 935|674|205880,0,0Z x x x x x x x x x x x x =-++-≤⎧⎪≥⎪⎨+=-⎪⎪≥≥≥⎩ 【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为123123412351612123456max 9356742067420588,,,,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=⎧⎪--++=⎪⎪-=⎨⎪--=⎪⎪≥⎩ (3)1211212max 231510,0Z x x x x x x x =+≤≤⎧⎪-+=-⎨⎪≥≥⎩【解】方法1：121314121234max 23151,,,0Z x x x x x x x x x x x x =+-=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪≥⎩ 方法2：令111111,1,514x x x x x '''=-+≤-=有＝ 1211212max 2(1)34(1)1,0Z x x x x x x x '=++'≤⎧⎪'-++=-⎨⎪≥⎩则标准型为121312123max 22340,,0Z x x x x x x x x x '=++'+=⎧⎪'-+=⎨⎪'≥⎩(4) 12123123123123123max min(34,)2304215965,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪-+≥⎪⎨++≥-⎪⎪≥⎩无约束、【解】令1212311134,,y x x y x x x x x x '''≤+≤++=-，线性规划模型变为11211231123112311231123max 3()42304()2159()65,,0Z yy x x x y x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ='''≤-+⎧⎪'''≤-++⎪⎪'''-++≤⎪⎨'''--+≥⎪⎪'''-++≥-⎪'''≥⎪⎩、 标准型为112411235112361123711238112345678max 33400230442159965,,,,,,,,0Z yy x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ='''-+-+=⎧⎪'''-+--+=⎪⎪'''-+++=⎪⎨'''--+-=⎪⎪'''-+--+=⎪'''≥⎪⎩设线性规划⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-=+++=4,,1,06024503225max 42132121 j x x x x x x x x x Z j取基11322120(P )4041B B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，P 、＝，分别指出B B 12和对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明B B 12、是不是可行基．【解】B 1：x 1，x 3为基变量，x 2，x 4为非基变量,基本解为X=（15，0，20，0）T，B 1是可行基。