1.1 归纳与类比基础巩固一、选择题1．如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B ．l 22C ．lr 2D ．不可类比由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A.43a B.63a C.54a D.64a 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题4．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝1091＋1092＝1 000.5．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力． 依题意：f 1(x )＝xx ＋2＝x2－1x ＋2，f 2(x )＝x3x ＋4＝x22－1x ＋22，f 3(x )＝x7x ＋8＝x23－1x ＋23，f 4(x )＝x15x ＋16＝124－1x ＋24. ∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝x2n －1x ＋2n.三、解答题6．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －b a x 与l 2：y ＝ba x 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝bax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求点P 1、P 2的坐标； (2)猜想点P n 的坐标公式．两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点P n 的坐标．(1)解方程组⎩⎨⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1(a 2，b 2)．过(0，b )，(a 2，0)两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立，解得P 2(a 3，b3)．(2)由(1)可猜想P n (a n ＋1，bn ＋1).一、选择题1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n －1个式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<n2n ＋1观察可得第n －1个式子中不等式的左边为数列{1i 2]的前n 项的和，右边为分式2n －1n .4．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N ＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011等于( )A ．1 003B ．1 005C ．1 006D ．2 011观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半． 则a 4n －3＝n ，a 4n －1＝－n ，a 2n ＝n . 又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005.5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈13sh ，代入s ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258.本题的关键是理解“若V ≈136L 2h ，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题6．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________．S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 7．观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V ) 棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体68125＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2.三、解答题8．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． S 1＝11×2＝－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23；S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34；S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；由此猜想：S n ＝n n ＋1(n ∈N ＋)．本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．9．观察等式：sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sinα＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．10．已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d ；(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N ＋，则a m ＋a n ＝2a p ； (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可推出： (1)通项b n ＝b m ·q n－m；(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋， 则b m ·b n ＝b p ·b q ；(3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N ＋，则 b m ·b n ＝b 2p ；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．。