所围成区域的面积
2n
2n
2n
解 A f ( x) dx e xsinx dx e x sinx dx
0
0
0
n1 (2k1)
e x
sin xdx
n1 2(k1)
e x
sin xdx
k0 2k
k0 (2k1)
n1
k0
[
1 ex (sin x 2
cos x)]
( 2k 1) 2k
n1
k0
[1 ex (sinx 2
在 0，2 上单调增 , 利用式（2）有
2
A a(1 cost) a(1 cost)dt
0
2
a2 (1 cost)2 dt
0
2
a2 (1 2cost cos2 t)dt 3a2
0
例 设 M 为曲线
x cost
y
2s
in2
t
,
0 t π 上的一点 ,
2
此曲线与直线 OM 及 x 轴所界图形的面积为 S ,
§7.2 几何应用
1º平面图形面积的计算
y
1、直角坐标系下的面积公式
（1） y f (x) 0, x a, x b, y 0
y f (x)
所界图形的面积:
b
b
A f ( x)dx ydx
a
a
（2） y f (x) , x a , x b , y 0
A
oa
y y f (x)
3
2( y 2) y'( x) 1
令 x =2 ，y =3 得
1 y'(2)
2
2
o1
x
5
切线方程
y
3
1 (x
2)
2
即 x 2y4
选取 y 为积分变量
3
A [(( y 2）2
1) （2 y 4）]dy
3
(y2
6 y 9)dy 9
0
0
例 计算曲线 y e x sin x 与 x 轴在区间 0 , 2n
(t )'(t)dt
a
即 A (t )'(t )dt ( (t)单调增 ) （2）
说明: 若 (t) 单调减 , 则上积分上、下限倒一下
例 求摆线
x a(t sint)
y
a(1
cost
)
的第一拱（0 t 2)
与 x 轴所界图形的面积
解 x'(t) a(1 cost) 0 x(t) a(t sint)
求 dS 取得最大值时，点 M 的坐标 dt
解 S S1 S2
y
1 2
cos t (
2sin2 t
由于 y 2(1 x2 )
o
1
S cost sin2 t 2(1 x2 )dx
cost
M
S1 S2
cost 1 x
dS 2sint cos2 t sin3 t 2(1 cos2 t)sint dt
其中 (t) , (t) , (t)在 , 上连续 , 且 (t) 在
, 上单调增 ( 或减 ) , y
() =a , () =b ,
x (t) y (t)
则 a < b , t = -1(x)
A
oa
bx
y ( 1( x)) 所成曲边梯形的面积
b
x (t)
A ( 1( x) dx
2
的面积
y
解 (1) 作草图选取积分变量
y 1 x2 y x 4
2
从图形可知选取 x 为积分变量
o
x
(2) 求两曲线的交点, 确定积分区间
联立方程 组
y 1 x2 2
解得两曲线的交点
y x4
(2 , 2) , (4 , 8 ) , 从而确定积分区间: [-2 , 4 ]
y
(3) 计算积分
y 1 x2 2
cos x)]
2( k 1) ( 2k 1)
n1
1 e2k (1 e )
n1
1
e2k (e2
e )
k0 2
k0 2
n1
k0
1 2
e
2k
(1
2e
e2
)
(1
e
)2
n1
e
2k
2 k0
1 e 2(1 e
)
(1
e 2n
)
2、参数方程表示的图形面积的计算
x (t)
设曲线为
, t
y (t)
x=1+y2
A
1
[(1
y2 ) 2 y2 )dy
1
(1
y 2 )dy
4
1
1
3
说明: 根据图形选取合适的积分变量有助
于简化问题
例 求由抛物线 ( y 2)2 x 1 和它在纵坐标为 y0=3 的
点处的切线以及 x 轴所围成图形的面积
解 当 y0 = 3 时 , x0 = 2
y
两边对 x 求导得
A
4
[(
2
x
4)
1 2
x
2
]dx
2 o
(1 2
x2
4x
1 6
x3)
4 2
18
y x4
4x
例 计算由曲线 x=2y2 和 x =1+y2 所围成的图形面积
解 (1)作草图, 选取 y 为积分变量 y x=2y2
(2)求两曲线的交点, 确定积分区间1
解联立方组：
x x
2y 1
2
y
2
o
1
x
得 y = 1, y =1 , 积分区间[-1 ,1]
计算: 向径 = , = , 曲线 r = r() 所围图形 的面积
设 , +上曲边扇形的面积为A
由于 r() 连续 , 若记
=
r
(1
)
min ,
r
(
)
= +
r
(
2
)
max ,
r
(
)
0
r=r()
B
A A =
r
1 2
r 2 (1)
A
1 2
r 2 (2
)
1,2 ,
1 2
r 2 (1)
所界图形的面积:
y
y1 f (x)
b
A f (x) g(x) dx
a
y2 g(x)
oa
bx
y
（5）x1 ( y), x2 ( y),( y) ( y) d
x (y) x (y)
y c, y d (c d) 所界图形的面积:
A
d
A (( y) ( y))dy
c
c
o
x
例 计算由曲线 y 1 x2 , y x 4 所界图形
A
1 2
r
2 (2
)
dA lim A 1 r 2( ) d 0 2
2sint sin3 t
令
d2S dt2
2cost
3s in2
t
cost
0
2
t1 2 , t2 arcsin 3
由于
dS
dS
dS
4
dt t0 0, dt t 1, dt tt2 3
2 1 3
2
当
t arcsin
2 时，dS
3
dt
取最大值，
M
3 3
,
4 3
3、极坐标系下图形面积的计算 设 r = r() , , r() 在 , 上连续 ,
所界图形的面积:
b
b
A f (x) dx y dx
a
a
oa
bx
bx
y
（3）y1 f (x) , y2 g(x) , f (x) g(x)
y1 f (x)
x a, x b 所界图形的面积:
b
A
A ( f ( x) g( x))dx
a
y2 g(x)
oa
bx
（4） y1 f ( x) , y2 g( x) , x a , x b