3 符号系统
3.1 基于 logistic 增长率线性回归模型的符号约定
N (t) ：区域内 t 时刻的人口总数 N (t0 ) :区域内 t0 时刻的人口总数 ：人口自然增长率 P(t) :区域中 t 时刻人口净增长率 ：生命系数 a, b ：线性方程的系数
3.2 灰色 GM(1,1)模型的符号约定
第二问中我们考虑延迟退休年龄这一新的人口政策对养老水平的影响，我们 引入养老金替代率作为衡量养老水平的指标，建立基于收支平衡的养老金替代率 ——退休年龄模型，分别算出了延迟退休前后男女职工的养老金替代率，对比近 10 年的数据得出结论：延迟退休可以提升养老金替代率，利于提高我国退休职 工的养老水平。 关键词：阻滞增长 增长率线性回归 灰色预测 养老金替代率
4
5.2 基于 logistic 增长率线性回归模型
5.2.1 基于 logistic 增长率线性回归模型的建立
根据 logistic 模型，人口增长模型可表为微分方程的柯西初值问题：
dN (t) [ N(t)]N(t)
{ dt N (t0 )N0 由于 P(t)为人口净增长率，得：
P(t) N(t) 设人口净增长率与时间成线性关系，即：
dt
a
点，当 a 0,b 0 时， N (t) 在 (0, b ) 上单调递增，在 ( b , ) 上单调递减，在
a
a
N ( b ) 取最大值，当 a 0, b 0 时，N (t) 在 (0, b ) 上单调递减，在 ( b , ) 上单
a
a
a
调递增，在 N ( b ) 取最小值。 a
通过对中国人口普查数据的分析，发现人口净增长率与时间成近似线性关系，
利用 Matlab 求出一元回归线性拟合的线性方程（程序见附录），结果如下：
P t 2.8273104t 0.5749
对于拟合的检验，我们用 F 检验和 T 检验。用 Matlab 进行 F 检验和 T 检验 (程序见附录)。对于 F 检验，我们取 =0.05 对方程和回归系数进行检验，查 F 分布表得 F0.05 (1,3) 10.1，而根据人口数据求得 F=11.9257> F0.05 (1,3) 10.1，由此 说明方程显著，并且 FX=11.9257>10.1，说明 x 显著。对于 T 检验，给定了 ， 查 t 检验临界值表可得 T0.025 (3) 3.1824 ，将数据带入 Matlab 求出 TX=-3.4534， 由于 TX 的绝对值=3.4534>T0.025 (3) 3.1824 ，则因子 x 显著。（Matlab 检验见附 录）。 我国从 1980 年实行计划生育，此线性方程不仅刻画了计划生育前的人口增长率 而且包括了实行计划生育政策后的人口净增长率。将数据带入方程组得：
因此用一元线性回归拟合数据。
中国历次人口普查数据表
序号
年份
中国人口总量
增长量
年平均增长率
1
1953
60193.80
—
—
2
1964
72307.02
12113.22
0.0168
3
1982
103188.25
30881.23
0.0200
4
1990
116001.73
12813.48
0.0147
5
2000
129533.00
C 的第几个）： C (第一个)
参赛报名号为（如果学院已经通知你们报名号的话，实在不知，就不写）：
报名时所属学院（请填写完整的全名）：
数学与统计学院
参赛队员姓名与学号 (打印，用二号字，并签名) ：
1. 张耀琦 07121008
2．郑 涛 07121019
3. 刘子岳 07121034
日期： 2014 年 05 月 04 日
Pt at b ab 0
带入得：
dN (t) [at b]N(t)
{ dt N (t0 )N0
分离变量法解此方程得：
N (t)
N0
e e (bt0
a 2
t02
)
bt a t2 2
令 dN (t) [at b] N(t) 0 ，则 t b 为 N (t) 的唯一稳定点，所以也是 N (t) 的极值
人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。这些理论和模 型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人 的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。研 究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。请收集一些典型的研究评论报告， 考虑以下问题：
13531.27
0.0111
6
2010
137053.68
7520.68
0.0057
5
这里将时间作为横坐标，人口净增长率作为纵坐标，由于前三次人口调查都 不是十年一次，时间间隔不相等，假设相邻两个普查年份间的人口增长率取这一 年段的平均值，则取下列 5 个点： (1963,0.0168) (1974,0.0200) (1985,0.0147) (1996,0.0111) (2007,0.0057) 用 Matlab 画出这五个点并且进行一元回归线性拟合（程序见附录），拟合结果如 图所示：
4 模型的假设与名词解释
4.1 基于 logistic 增长率线性回归模型的假设
（1） 不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响 （2） 不考虑我国同境外人口之间的迁入迁出问题 （3） 为了使生育和死亡现象的发生在整个时间段内是均匀的，保证 N (t) 是 t 的
连续函数且关于 t 可微，假设 N (t) 足够大 （4） 上一次人口普查到下一次人口普查这一时间段内，人口年增长率为这一时
a ：发展系数
u ：灰色作用量
a ：灰参数
e(0)
(t)
：
x
(
0)
与
(
x
0)
(t)
的残差
数据
s1 ：原始数据的方差 s2 ：残差的方差 C ：方差比 C s2 / s1 P : 小误差概率
3.3 养老金替代率——退休年龄模型的符号约定
Y1 ：平均起始工作年龄 Y2 ：人均寿命 x ：退休年龄
西安电子科技大学 2014 年大学生数学建模校内赛 评阅专用页
评阅人 1 评阅人 2 评阅人 3
总评
成绩
人口政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要
本文主要研究了人口政策调整对人口数量、结构及其影响，它实际上是一个 预测问题。
第一问中我们选取了三篇研究评估报告：《国家人口发展战略研究报告》[1]、 《国家统计局人口普查公报》[2]和《国家统计局年度统计公报》[3]，然后建立了 两种模型：基于 logistic 增长率线性回归模型和灰色 GM（1,1）模型，用这两种 模型进行中国人口数量的分析和预测，我们发现基于 logistic 增长率线性回归 模型适用于中长期人口数量的预测，灰色 GM（1,1）模型适合短期内的人口数量 预测，预测结果与研究评估报告中的“我国人口在未来 30 年将保持低增长净增 2 亿人左右，总人口将于 2010 年、2020 年分别达到 13.6 亿人和 14.5 亿人，2033 年前后达到峰值 15 亿人左右”基本吻合，说明研究评估报告指出的是正确合理 的，故我们建议，在未来 30 年应该逐步调整人口政策来维持人口红利，例如施 行“单独二胎”政策。
（1） 根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某 些结论发表自己的独立见解。
（2） 针对深圳市或其他某个区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇 化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论） 对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
2.2 问题二的分析
问题二是选取一个区域，讨论计划生育新政策，比如将城镇化、延迟退休年
2
龄或者养老金统筹等政策因素中的一个因素作为重点(这里我们选择了将延迟退 休年龄作为重点进行讨论，讨论其政策因素对未来人口数量、结构及其对教育、 劳动力供给与就业、养老等方面的影响。对于养老，为研究延迟退休对养老的影 响，我们选取了养老金替代率作为指标来衡量养老水平。
2 问题的分析
2.1 问题一的分析
问题一是要收集若干有关人口的研究评估报告，然后收集中华人民共和国的 人口数据，对数据进行处理，建立人口模型，再对报告的假设和结论发表自己独 立的见解，此见解应建立在对所建人口模型合理分析的基础上，才能使见解更加 合理化。对于研究评估报告，我们选用《国家人口发展战略研究报告》、《国家统 计局人口普查公报》和《国家统计局年度统计公报》。对于人口模型，我们建立 基于 logistic 增长率线性回归模型和灰色 GM(1,1)模型，分别利用所建立的两 种人口模型进行人口预测。关于全国人口的数据在《国家统计局人口普查公报》 和《国家统计局年度统计公报》中选取处理得到。
r1 ：养老金的个人缴费率 r2 ：养老金的企业缴费率 r ：总缴费率（ r r1 r2 ）
3
W0 ：员工的平均起始工资 v ：工资的年平均增长率 q ：养老金用于投资的年平均回报率 Q(x) ：员工在 x 岁退休时所积累的养老金以及其增值总额 ：退休金的替代率 ：养老金收支平衡下每年应领取的退休金数额
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权西安电子科技大学 2014 年数学建模校内赛竞赛组委会，可将我们 的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体 进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写，如果是 C，请注明是
西安电子科技大学 2014 年大学生数学建模校内赛
承诺书
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。