宝应县2020-2021学年度第一学期期初调研测试试题高三数学（全卷满分150分，考试时间120分钟）考生注意：请在答题纸上作答，否则无效。

一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，计45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 已知集合{}22(,)|1A x y x y =+=，(){},21B x y y x ==+，则集合AB 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 2. 以下四个命题：1:,sin cos 2p x R x x ∃∈+=； 2:,sin 2sin p x R x x ∃∈=31cos2:,,cos 222xp x x ππ+⎡⎤∀∈-=⎢⎥⎣⎦； ()4:0,,sin cos p x x x π∀∈>其中，是真命题的为（ ）A ．23,p pB ．14,p pC ．24,p pD ．34,p p 3.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬43°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ） A 137° B. 47° C. 43° D. 21.5°4．函数2ln ||y x x =-的图象大致为（ ）5. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从此诗句中你认为“破楼兰”是“还家乡”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.6. 从编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（ ）A.1325 B. 25 C. 12 D. 15287. 已知函数2()2f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f x g x x=在区间()1,+∞上一定（ ）A ．是减函数B ．是增函数C ．有最小值D ．有最大值8. 已知函数24,0()1log |1|,0a x a x f x x x ⎧+>=⎨+-≤⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递增，且关于x 的方程|()|3f x x =+恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A.313(0,]416⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.313(,]416C.1313[)4416⎧⎫⎨⎬⎩⎭，D.1313[,]4416⎧⎫⎨⎬⎩⎭二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题5分，计15分。

在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 设集合{}e 4xM y y ==-+，()(){}lg 23N x y x x ==+-⎡⎤⎣⎦，则下列关系正确的是（ ）A.R R M N ⊆B. N M ⊆C. MN =∅ D.RN M ⊆10. 已知两个命题 p ：对任意x ∈R ，总有22xx >； q ：“1ab >”是“1,1a b >>”的充分不必要条件. 则下列说法正确的是（ ）A ．p 为真命题B ．p 为假命题C ．q ⌝为真命题 D. q ⌝为假命题 11. 如图，在三棱锥C －ABD 中，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，O 为斜边BD 的中点，AB ＝4，二面角A －BD －C 的大小为60°，以下结论正确的是（ ）A. AC ⊥BDB. △AOC 为正三角形C. 四面体A-BCD 外接球的表面积为32πD. cos ∠ADC= 3412．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石. 布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数. 下列函数中是“不动点”函数的有（ ）A.()23g x x x =--B.()2x f x x =+C.()221,1|2|,1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩D.()1f x x x=-13. 已知函数2,1()43,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()f x 的值域是________. 14. 若函数()ln 2f x x ax x =+-在区间()2,1上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 _________ .15. 四棱锥P-ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AB ==，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是_________ 16. 设0,0,23x y x y >>+=为_______．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本题满分10分）已知集合{}2|230A x x x =+-<，{}|||1B x x a =+<．（1）当3a =时，求A B ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若q 是p 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. （本题满分12分）已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =. （1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分12分）设函数()|1||3|f x x x =--+． （1）求不等式()1f x ≤的解集；（2）若函数()f x 的最大值为m ，正实数,p q 满足2p q m +=，求22221242p p q p q++++-+的最小值.20. （本题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°，AD ⊥BC ． （1）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（2） 求直线CD 与平面ABD 所成角的余弦值．21. （本题满分12分）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm ）进行测量，得出这批钢管的直径X 服从正态分布N (65,4.84)．(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm ，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；(2)如果钢管的直径X 满足60.6～69.4 mm 为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望．参考数据：若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.22. （本题满分12分）已知函数2()ln 2f x x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -； （3）比较)18.1(f 与 2.18-的大小，并加以证明．DB2020- 2021学年度第一学期期初检测试题高三数学答案一、单项选择题1. B ．2. A3. C 4．A 5.B 6.D 7.B 8.D 二、多项选择题9.AB 10.BC 11.ABC 12．ACD解：(1)由x 2＋2x －3<0，解得－3<x<1，即A ＝(－3,1)． -------1分 当a ＝3时，由|x ＋3|<1，解得－4<x<－2，即B ＝(－4，－2)．----2分 所以B A ⋂＝(－3,-2)． ---------------------4分 (2)q 是p 成立的充分不必要条件，所以集合B 是集合A 的真子集．--6分 又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎨⎧≤+-->--⎩⎨⎧<+--≥--11311131a a a a 或----------------------8分 解得0≤a≤2，即实数a 的取值范围是[0,2]． ----------------10分18. (本小题12分)解析：(1)h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x∈[1，4]，所以log 2x∈[0，2]．故函数h(x)的值域为[0，2]．------------------------------------4分(2)由f(x 2)·f(x )>k·g(x)得 (3－4log 2x)(3－log 2x)>k·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x∈[1，4]，所以t ＝log 2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t 对一切t∈[0，2]恒成立，-------------6分 ①当t ＝0时，k∈R ；-------------------------------------8分②当t∈(0，2]时，k<（3－4t ）（3－t ）t 恒成立，即k<4t ＋9t－15恒成立，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．--------12分19(本小题12分)解不等式或或，解得，-----------------------------3分 故原不等式的解集为；---------------------------4分 ，，，--------6分，，，， ，---------------------10分的最小值为，当且仅当时取等．------------12分20、(本小题12分) 【解析】（1）取棱的中点，连接，．又因为为棱的中点，故．所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 在中，，故．----------2分 因为可证平面，故．在中，，故．------------------4分在等腰三角形中，，可得．----------5分所以，异面直线与所成角的余弦值为．--------------------6分（2）连接，因为为等边三角形，为边的中点，故，．又因为平面⊥平面，而平面，故平面． 所以，为直线与平面所成的角．------------------8分在中，．在中，． 所以，直线与平面所成角的余弦值为413．-------------12分21．(本小题满分12分)AC N MN ND M AB MN BC ∥DMN ∠BC MD Rt DAM △1AM =2213DM AD AM =+=AD ⊥ABC AD AC ⊥Rt DAN △1AN =2213DN AD AN =+=DMN 1MN =1132cos MNDMN DM ∠==BC MD 1326CM ABC △M AB CM AB ⊥3CM =ABC ABD CM ⊂ABC CM ⊥ABD CDM ∠CD ABD Rt CAD △224CD AC AD =+=Rt CMD △3sin CM CDM CD ∠==CD ABD 22221221422p p q p q p q ++++-=+++解 (1)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6， ∵73∈(μ＋3σ，＋∞)，∴P(X>71.6)＝1－P (58.4<X≤71.6)2＝1－0.99742＝0.0013.----------------3分∴此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理．----------4分 (2)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，由题意，可知钢管直径满足μ－2σ<X≤μ＋2σ为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，------------------------------------6分∴在60根钢管中，合格品有57根，次品有3根，任意挑选3根，则次品数Y 的所有可能取值为0,1,2,3.P(Y ＝0)＝C 03C 357C 360，P(Y ＝1)＝C 13C 257C 360P(Y ＝2)＝C 23C 157C 360，P(Y ＝3)＝C 33C 057C 360，----------------------10分得E(Y)＝0×C 3C 57C 360＋1×C 3C 57C 360＋2×C 3C 57C 360＋3×C 3C 57C 360＝0.15.------------12分22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-．- 1分所以(1)1f '=-， 又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--．-------- [ 2分]（Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． ------------- [ 3分] 所以只需证明方程 2ln 24ln22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程 2ln 4ln20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． -------- [ 4分] 设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， --------- [ 5分] 则 ()2ln 3g x x '=+．当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． --------- [ 6分] 又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以 存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =．----------- [ 7分]综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -．-------- [ 8分] （Ⅲ）18.2)18.1(->f ．证明如下： ----------- [9分]首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+，-------------- [10分] 则 ()2ln 1h x x x x '=+-．当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增，---------------- [11分] 所以 1x >时，有()(1)0h x h >=， 即当 1x >时，有()1f x x >--．所以 18.2118.1)18.1(-=-->f ． ---------------- [12分]。