a
b
O
V0
d
c
a
●
O 300
●
600
θV
0
d
L 2

r1(1
sin
300
)
r1

L 3
v1

qBr1 m

qBL 3m
b r2 L
v2

qBr2 m

qBL m
qBL v qBL
3m
m
c
五．带电粒子在圆形边界磁场中的运动
O’
r
rrv
rv
2 2
v
O•
B
入射速度方向指向匀 强磁场区域圆的圆心， 刚出射时速度方向的 反向延长线必过该区 域圆的圆心．
③速度较大时粒子作部分 周运动后从另一边界飞 出
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点；
②速度增加为某临界 时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边 界相切；
③速度较大时粒子作 部分圆周运动后从 另一边界飞出
①速度较小时，作圆弧 运动后从原边界飞出；
②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周 运动其轨迹与另一边 界相切；
3. 周期 T 2r 2m
v Bq
只与B和带电粒子（q，m)有关，而 与v、r无关（回旋加速器）
4. 磁感应强度 B mv p 2mEk 1 2mU qr qr qr r q
5. 圆心、半径、运动时间的确定
O
利用v⊥R
v
⑴圆心的确定 利用弦的中垂线
两条切线夹角的平分线过圆心
d r(1 cos )
qvB m v2 r
． v θ O

B
D
F
思考：能从EF射出，求电子在磁 场中运动的最长时间是多长？
v eBr eB d
m m (1 cos )
t 2m ( )m 2 eB eB
3．如图所示，相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂直于纸面 的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场方向射入，已知 粒子速率一定，射入时速度方向与OM间夹角的范围为0<θ<90º， 不计粒子的重力，则：
N
MON
C.
D.
2R
R
O
O
M 2R
2R N
M 2R
2R N
解： 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个 方向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中 运动的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为 圆心、以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的 运动轨迹如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如 图斜线示
2R
M
2R O R N
7．水平线MN的下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀
强磁场，在MN线上某点O的正下方与O点相距为L的质子源S,可
在纸面内1800范围内发射质量为m、电量为e、速度v=BeL/m的
质子，质子的重力不计，试说明在MN线上多大范围内有质子
穿出。
M
r

mv

m
BeL m

L
O
N
eB eB
m2v2 e2B2r2
Ｏ•
B
B
R
R m
2eBrmv
t v eB arctan(m2v2 e2B2r 2 )
M L
Ｏ＇
P N
5．一匀磁场,磁场方向垂直于xy平面,在xy平面上,磁场分布在
以O为中心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷量为q的带电
粒子,由原点O开始运动,初速为v,方向沿x正方向.后来,粒子经
v
•
B
O
1.圆形区域内存在垂直纸面的半径为R的匀强磁场，磁感强 度为B，现有一电量为q、质量为m的正离子从a点沿圆形区域 的直径射入，设正离子射出磁场区域的方向与入射方向的夹 角为600，求此离子在磁场区域内飞行的时间及射出的位置。
O’
y
v
y
P(x y)
v
Oo• x
B
t

60 0 360 0
T

1 6
向心力公式求半径（R= mv/qB）
圆心确定后，寻找与半径和已知量相关的直角三角形， 利用几何知识，求解圆轨迹的半径。
带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性 较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、 圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中 的圆及解析几何知识 ．但只要准确地画出轨迹图， 并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与 轨道半径r、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏 转的角度或距离以及运动时间不太难。
M
L
v
A
Ｏ•
Ｏ
B
＇
B
P N
tan( ) r eBr
2 R mv

v
tan

2 tan( ) 2
1 tan2 (
)

2eBrmv m2v2 e2B2r2
2
O' P

(L

r) tan

2(L r)eBrmv m2v2 e2B2r2
A
R

2
arctan( 2eBrmv ) Ｏ1

BD
t T
O
360
相同比荷的粒子在相同的 磁场中具有相同的周期。
3、穿过无限大双边界磁场： [例3]如图，磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，磁场上下边 界间距为2L，左右无边界。有一正离子（m，q）以θ角从正中射 入磁场，若离子不从上边界射出磁场，求离子射入磁场时速度的范 围。
自己作图的时候，可以先作圆，后作边界。
一．带电粒子在单直线边界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直 原边界飞出；
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界
夹角θ飞出（有两种轨迹，图中若两轨迹共弦，则
θ1＝θ2）。
v
． A
r
O
B
vr
M
P
B
2 2
v
θ
N
vθ
6．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感应强度
M
a．已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和
P
-q
vv
出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，
两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心．
b．已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入 O
射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其
中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．
M
v P
v
⑵半径的计算 几何法求半径（勾股定理、三角函数） -q
（1）.θ越大，粒子在磁场中运动的时间？ (2).θ越大，粒子在磁场中运动的路径？ (3)θ越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离？
M
P
θ v0
O
N
Q
四．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
圆心在
vB
过入射 点跟速
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
BC
O4
v0
A
•
B
O3
O2 O1
T 2m k
qB
r mv v qB
半径越大，偏向角θ越小．
圆心角等于偏向角θ t T 2
3.在直角坐标系xOy中，有一半径为R的圆形磁场区域，磁感强 度为B，磁场方向垂直xOy平面指向纸内，该区域的圆心坐标为 （R，0）。如图所示，有一个质量为m、带电量为－q的离子， 由静止经匀强电场加速后从点（0，R/2）沿x轴正方向射入磁 场，离子从射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离，不计重 力影响。求： ⑴.离子在磁场区域经历的时间。⑵.加速电场 的加速电压。
的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为m,带电量为 +q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O 射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的相互影响.下列图中阴 影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是 正确的?
A
A.
2R B. 2R
B
O
O
M 2R R N
M R 2R
2m
qB

m
3qB
x R cos600 1 R 2
y R sin 600 3 R
x
2
13
P( R, R)
22
2．在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．从磁场边缘A点
沿半径方向射人一束速率不同的质子，对这些质子在磁场中的
运动情况的分析中，正确的是：
A.运动时间越长的，在磁场中通过的距离越长 B.运动时间越短的，其速率越大 C.磁场中偏转角越小的，运动时间越短 D.所有质子在磁场中的运动时间都相等
y
t 600 T 1 2m m
360 0 6 qB 3qB
R/2 •
B
·
x
O
qBr 2qBR
O•1 R
r 2R v
r
mm
qU 1 mv2 2
U 2qB2R2 m
600
r
O2
4、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向 为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的 O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上 之P点，如图所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间
5．如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在小孔S处 正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存 在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使 带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，求正离子在 磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量 损失，不计粒子的重力。