P T T F F Q T F T F ᄀP F F T T ᄀP∨Q T F T T P→Q T F T T
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1， P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则 称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q” 称为 P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结 词。 P Q P ∨Q T T T T F T F T T F F F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P 和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示 不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥 性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律
P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F
P∧（P∨Q） T T F F
定义1-4.3 如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一 个合式 公式,则称X为公式 A的子公式。
定义1-2.5 设P、Q为两命题，复合命题“P当且仅 当 Q”称作 P与Q的等价式，记作P⇄ Q， ⇄ 为 等价联结词。
P⇄Q表示P与Q互为充分必要条件。
P T T F F Q T F T F P⇄ Q T F F T
例5将下列命题符号化。 （1）2+2＝4，当且仅当3是奇数。 （2）2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 （3）2+2≠4，当且仅当3是奇数。 （4）2+2≠4，当且仅当3不是奇数。 （5）两圆的面积相等，当且仅当它们的半径相同。 （6）两角相等当且仅当它们是对顶角。 解：（1）－（4）设P：2+2＝4；Q：3是奇数。 （1）P⇄Q 真命题 （2）P⇄ᄀQ 假命题 （3）ᄀP⇄Q 假命题 （4）ᄀP⇄ᄀQ 真命题 （5）设P：两圆的面积相等；Q：两圆的面积相同。 P⇄Q 真命题 （6）设P：两角相等；Q：它们是对顶角。 P⇄Q 假命题
1－4真值表与等价公式
1.真值表 定义1－4.1含n个（n≥1）个命题变元（分量）的命题公式， 共有2n组真值指派。将命题公式A在所有真值指派之下取 值的情况列成表，称为A的真值表。 构造真值表的步骤： (1)找出命题公式中所含的所有命题变元P1,P2,…,Pn。列出 所有可能的真值指派。 (2)对应每种真值指派，计算命题公式的各层次的值，直到最 后计算出命题公式的值。
2．命题的符号化表示 命题的符号化就是用符号表示命题。 简单命题（或原子命题）：简单陈述句表示 的命题。用P，Q，R,…,Pi,Qi,Ri,…表示。 例 P:2是偶数。 Q:雪是黑色的。 命题常量（或命题常元）：简单命题。 命题变项（或命题变元）：真值可以变化的 简单陈述句。不是命题。 例：x+y>5
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P， 则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联 结词。
P T T F F Q T F T F P→Q T F T T
在P→Q中，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件。 表示自然语言 “只要P就Q” ， “P仅当Q”， “只有Q，才P” 注意：1.在自然语言中，“如果P，则Q”中的P与Q 往往有某 种内在的联系，但在数理逻辑中，P→Q 中的P与Q不一定有内在的联系。 2.在数学中，“如果P，则Q”表示P为真，Q为真的 逻辑关系，但在数理逻辑中，当P为假时P→Q为真。
1－2.联结词
定义1－2.1 设P为任一命题，P的否定是一个新的命题，称 为P的否定式，记作ᄀP。ᄀ为否定联结词。
P
ᄀP
T
F 例
F
T
p：3是偶数。 ᄀp：3不是偶数。
定义1－2.2 设P、Q为两命题，复合命题“P并且Q” （或“P和Q”）称为 P与Q的合取式，记作P∧Q， ∧为合取联结词。 ∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是” P T T F F Q T F T F P ∧Q T F F F
例5 证明P⇄Q⇔（P→Q）∧（ Q→P） 证明 列出真值表
P T T F F
Q T F T F
P→Q T F T T
Q→P T T F T
(P→Q）∧( Q→P） P⇄Q T T F F F F T T
24个重要的等价式
P⇔ᄀᄀP 双重否定律 P⇔P∨P 等幂律 P⇔P∧P P∨Q⇔Q∨P 交换律 P∧Q⇔Q∧P （P∨Q）∨R⇔P∨（Q∨R） 结合律 （P∧Q）∧R⇔P∧（Q∧R） P∨（Q∧R）⇔（P∨Q）∧（P∨R） 分配律 P∧（Q∨R）⇔（P∧Q）∨（P∧R） ᄀ（P∨Q）⇔ᄀP∧ᄀQ 德· 摩根律 ᄀ（P∧Q）⇔ᄀP∨ᄀQ
例4将下列命题符号化。 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。 (3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。 (3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。 (4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。 (5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。 解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上 班。 （1）ᄀP→Q （2）Q →ᄀP 在（3）－（6）中，设P： 2+2＝4；Q：太阳从东方升起； R: 太阳从西方升起。 （1）P→Q， 真值为T （2）ᄀP→Q， 真值为T （3）P→R ， 真值为F （4）ᄀP→R 真值为T
(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 ᄀR→(P→Q) 或 （ᄀR∧P）→Q （除非：如果不） (5)王一乐是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他 是三好学生。P∧（Q ∨R）∧S （6）我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建 设而奋斗。 A：我们要做到身体好 B：我们要做到学习好 C：我们要做到工作好 P：我们要为祖国四化建设面奋斗。 命题符号化形式为：（A∧B∧C）⇄P
F T
F F
F T
F T
T T
F T F
F F F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
由以上例子可以看出有一类命题公式不论各命题变元作何种批派，其值永为 真（假），我们把这类公式记为T（F）。如例4和例2
2．等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的各 种指派下，其对应的真值都完全相同，如ᄀP∨Q与 P→Q的对应真值相同。
命题变项也用P，Q，R,…, Pi,Qi,Ri,…表示。 复合命题：由简单命题用联结词联结而成的命题。
例2 将下列命题符号化。 （1）3 不是偶数。 （2）2 是素数和偶数。 （3）林芳学过英语或日语。 （4）如果角A和角B是对顶角，则角A 等于角B。 解：（1）设P：3是偶数。 ᄀP （ᄀ：表示并非） （2）设P：2 是素数；Q：2是偶数。 P∧Q ( ∧:表示和) （3）设P：林芳学过英语；Q：林芳学过日语。 P∨Q (∨:表示或) （4）设P：角A和角B是对顶角；Q：角A 等于角B。 P→Q （→个表示如果……则……）
例3将下列命题符号化。 （1）李平既聪明又用功。 （2）李平虽然聪明，但不用功。 （3）李平不但聪明，而且用功。 （3）李平不是不聪明，而是不用功。 解：设P：李平聪明；Q：李平用功。 （1）P∧Q （2）P∧ᄀQ （3）P∧Q （4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ
注意：不是见到“和” 、“与”就用 ∧。 例：“李文和李武是兄弟”，“王芳和陈兰是好朋友”是简 单命题。
1,证明Q∨ᄀ( (ᄀP∨Q) ∧P) ⇔Q∨ᄀ( (ᄀP∧P) ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ( F ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ(P∧Q) ⇔Q∨(ᄀP∨ᄀQ) ⇔(Q∨ᄀQ) ∨ᄀP ⇔T∨ᄀP ⇔T
4.5种联结词的优先级顺序：ᄀ，∧，∨，→，⇄
1-3命题公式与翻译
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 等组成的符号串。
命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A ∨B）、（A→B）、（A⇄B）也是合式公式。 （4）只有有限次地应用（1）－（3）组成的符号 串才是合式公式。 例：P, ᄀP, (ᄀP)), (0∧P),P→(P→Q), ((P∨Q) →R) →(ᄀR)是公式； PQ→R,, ᄀ(P→), ᄀP→Q)不是公式。
定理1－4.1如果X是合式公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A⇔B。 证明 因为在相应变元的任一种指派下，X与Y的真值相同， 故以Y取代X后，公式B与公式 A在相应的指派下，其真值必相 同，故A⇔B。 满足定理1－4.1的置换称为等价置换（等价代换）
例7 证明P→Q⇔ᄀ（P∧ᄀQ）
P∨（P∧Q）⇔P P∧（P∨Q）⇔P P∨T ⇔T P∧F ⇔F P∨F⇔P P∧T ⇔P P∨ᄀP ⇔T P∧ᄀP ⇔F P→Q ⇔ᄀP∨Q P ⇄ Q ⇔（P→Q）∧（Q→P） P→Q ⇔ᄀQ→ᄀP P ⇄ Q ⇔ᄀP ⇄ᄀQ （P→Q）∧（P→ᄀQ）⇔ᄀP