z f [u(x, y), v(x, y)]
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （1）z x ln( x 2 y); （2）z x arctan y . x
解 (1) 由微分运算法则可得
dz ln( x 2 y)dx xdln( x 2 y) ln( x 2 y)dx x d( x 2 y) x 2y
f2(tx, ty) y
另外 z tk f ( x, y), 则 dz k t k1 f ( x, y) dt
因此, 对任何 t 有 f1(tx, ty) x f2(tx, ty) y k t k1 f ( x, y)
令 t 1即得 x fx( x, y) y f y( x, y) k f ( x, y).
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设 z f (u, v) 在 (u, v) 处可微, 函数 u u( x, y), v v( x, y), 在 ( x, y) 处的偏导数都存在, 则 复合函数 z f [ u( x, y), v( x, y)] 在 ( x, y) 处的偏导 数都存在, 且有如下的链式法则
(7 15)
公式的推导 设方程F(x, y) 0 在点(x0 , y0 )的某个邻域内确 定了一个具有连续导数的隐函数 y y( x),则对 y( x) 定义域中的所有x,有 F[x, y( x)] 0,
根据链式法则, 在方程两边对 x 求导, 可得
F F dy 0, x y dx
x
x
arctan
y x
dx
x
1
1
(
y x
)2
d(
y x
)
arctan
y dx x
x
n
y x
xy x2 y2
dx
x2 x2
y2
dy
因此
z x
arctan
y x
xy x2 y2
,
z y
x2 x2 y2
.
三、隐函数微分法
定理7.4 设二元函数 F ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某 一邻域内具有连续偏导数 , 且
因为Fy( x0, y0 ) 连续, 且 Fy( x0, y0 ) 0,
所以存在 ( x0 , y0 ) 的某个邻域, 在该邻域内Fy 0,
于是
dy Fx . dx Fy
例5 求由方程 x y ex2y 0 所确定的隐函数 y f (x) 的导数. 解 法一 令 F ( x, y) x y ex2 y , 则
x fx( x, y) y f y( x, y) k f ( x, y). 证明 在 z f (tx,ty) 中, 令 u tx , v ty ,
其中 x, y 相对于 t 是常数,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
dz dt
f du f dv u dt v dt
f1(tx, ty) x
ln( x 2 y)dx x dx 2dy x 2y
[ln(x 2 y) x ]dx 2x dy
x 2y
x 2y
因此 z ln( x 2 y) x , z 2x .
x
x 2 y y x 2 y
(2) 由微分运算法则可得
dz arctan y dx xdarctan y
二、一阶全微分的形式不变性
设函数
都可微,
则复合函数 z f [ u( x, y), v ( x, y)]的全微分为
dz z dx z dy x y
z u z v d y u y v y
u dx u d y x y
v dx v d y x y
du dv,
dz z dx z dy x y
F ( x0 , y0 ) 0 , Fy( x0 , y0 ) 0. 则由方程 F(x, y) 0 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内能唯 一地确定一个有连续导数的函数 y f ( x), 它满足条 件 y0 f ( x0 ), 且有
dy Fx( x, y) Fx dx Fy( x, y) Fy
dz f du f dv dt u dt v dt 其中的 dz 称为全导数. dt
(7 14)
例1 设 z f (u,v) 可微, 求 z f ( x y, xy) 的偏导数. 解 在 z f ( x y, xy) 中, 令 u x y , v xy , 则由复合函数求偏导数链式法则可得 z f u f v x u x v x
Fx 1 2xyex2 y , 因此
Fy 1 x2ex2 y ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
y
y
例3 若 f ( x, y) 满足 f (tx,ty) t k f ( x, y) ( k 为正整 数 ), 则称 f ( x, y) 是 k 的齐次函数, 证明: k 次齐次函 数 f (x, y) 满足
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
解 在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
情形1 z f (u), u u( x, y), 则对 z f [u( x, y)] 有链式法则
z f (u) u , z f (u) u
x
x y
y
(7 13)
情形2 z f (u,v), u u(t), v v(t), 则对 z f [u(t),v(t)] 有链式法则