? A ? 2B ? 0,?Biblioteka ?B?2C
?
0,
?? A ? C ? 1,
?
1
(1 ? 2 x )(1 ?
?A x2)?
? 4, B 5 4 5
1? 2x
? ?
? 2,C ? 1, 55
? 2x? 1
5 1?
x25.
? 例3
求
x
3
? x
5x 2?
2? 5x
7 ?
x? 6
1dx
.
解
x3 ? 5x2 ? 7x ? 1 x2 ? 5x ? 6 ?
2 2 sec x
22
例4
求
?sin
sin x?
x cos
x
dx
.
解法（三）
?sin
sin x?
x cos
x
dx
?
1 2
(sin
?
x
?
cos x )(? sin x ?
sin x cos x
?
cos
x )?dx
?
1 2
????1dx
?
(sin
? sin
x x
? ?
cos cos
x )?dx x
? ??
? ?
? ?
? ?
an?1x ? an bm?1 x ? bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,? ,an 及
b0 , b1 ,? ,bm 都是实数，并且a0 ? 0 ，b0 ? 0 .
若n<m，上述函数称为有理真分式，否则，
称为有理假分式.
利用多项式除法, 有理假分式可以化成一 个多项式函数和一个有理真分式之和.
4.5.2 三角函数有理式的积分
定义2 由sinx 、cosx和常数经过有限次四则运
算所构成的函数称为三角函数有理式．常记为 R(sin x ,cos x )
利用三角函数之间的关系，在计算三角函 数有理式的积分时，可对有理式作如下变换， 将其变为有理函数的积分来计算.
① ?R(sin x) cos xdx t ? sin x ?R(t)dt
? ? ②
t ? cos x
R(cos x) sin xdx
? R(t)dt
? ③ R(sin,2 x cos2 x, tan x)dx
? t ? tan x
R
? t2 ??1 ? t 2
,
t2 1? t2
,
t
? dt ??1? t
2
④ ?R(sin,x cos xd) x
x
? t ? tan 2
R
取 x ? 2, 并将A, B 值代入(1) ? C ? ? 1
1
11
1
?
x(x ?
1)2 ?
x
?
( x ? 1)2
?
. x?1
例2
设
(1 ?
1 2x )(1 ?
x2)?
A 1? 2x
?
Bx 1?
?C x2
,
1 ? A(1 ? x 2 ) ? (Bx ? C )(1 ? 2x ),
整理得 1 ? ( A ? 2B )x 2 ? (B ? 2C ) x ? C ? A,
? 2t ??1? t2
,1? 1?
t2 t2
? ??1
2 ?t
2
dt
例4
求
?sin
sin x?
x cos
x
dx
.
解法（一） 令 t ? ta n x ，则
2
? ? sin x dx ? sin x ? cos x
2t 21t ? ?
t2
2
? 1?
t2
dt
?
1? t
?1? t2
dt
?
1 2
?t
1 ? 1?
? 1 x ? 1 ln sin x ? cos x ? C 22
? 例5
求
3? 4
dx
? 4
1 ? cos2 x
解
3? dx
?4
? 4
1 ? cos2 x
? u ? tan x ?1 du
1 2? u2
?
1 ar ctan 2
u ?1 21
?? 2 ar ctan 1 2
? 例5
求
3? 4
dx
第四章 一元积分学
由杨艳制作
4.5 几种特殊类型的积分
4.5.1 有理函数的积分 4.5.2 三角函数有理式的积分 4.5.3 无理函数的积分 4.5.4 小结
4.5.1 有理函数的积分
定义1 由两个多项式的商所表示的函数称为有
理函数（有理分式），即形如：
P( x ) Q( x)
?
a0 x n ? a1 x n?1 b0 x m ? b1 x m?1
x?
x2
x ?1 ? 5x ? 6
利用待定系数法，将真分式分解，得
x ?1
x?1
4 ?3
x2 ? 5x ? 6 ?
? ( x ? 3)( x ? 2)
? x?3
x?2
?
x 3 ? 5x 2 ? 71x ?
? x 2 ? 56x ?
dx
?
?xdx
?
?x
4 ?
3
dx
?
?3
?x ? 2
dx
? 1 x 2 ? 4 ln x ??33 ln x ??2 C 2
2
dt
?
1 2
?t
?
1 1?
dt 2
?
arctan t ?
1 ln 2
1? t2 t 2 ? 1? 2t
?C
? 1 x ? 1 ln sin x ? cos x ? C
22
例4
求
?sin
sin x?
x cos
x
dx
.
解法（二） 令 t ? tan x ，则
sin
?sincx ?
x os
x
dx
?
tan
为计算上述分解中分子多项式的系数， 我们常常采用待定系数法.
例1
设
x
(
1 x?
1
)2
?
A? x
(x
B ? 1)2
?
C, x?1
1 ? A( x ? 1)2 ? Bx ? Cx ( x ? 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C 取 x ? 0, ? A ? 1 取 x ? 1, ? B ? 1
（2）分母中若有因式( x 2 ? px ? q)k，其中 p2 ? 4q ? 0，则有理真分式分解后必含下列和式：
M1x ? N1 ( x 2 ? px ? q)k
?
M2x ? N2 ( x 2 ? px ? q)k ?1
???
Mkx ? Nk x 2 ? px ? q
其中M i , N i 都是常数(i ? 1,2,? , k ).
例
2x4 ? x2 ? 3 x2 ?1
?
2x2
? 1?
4 x2 ?1.
难点 将有理真分式化为部分分式之和.
有理真分式化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x ? a)k ，则有理真分式
分解后必含有下列和式：
(x
A1 ? a)k
?
(x
A2 ? a)k ?1
???
Ak , x?a
其中 A1 , A2 ,? , Ak 都是常数.
?tan x
x ?
dx 1
? ?t
t ?
??1 1
1 t2
dt
?
1 2
????11??
t t2
?
t
1 ?
1
???dt
? 1 arctan t ? 1 ln(1? t 2 ) ? 1 1? t ? C
2
4
2
? 1 x ? 11ln ? tan x ? Cx? 1 ? 1 ln sincx ? os x ? C
? 4
1 ? cos2 x
正确解法
? ? 3? 4 ?
4
dx 1 ? cos2
x
?
3?
4
?
4
1 ? cot 2 x 1? 2 cot 2 x