2020年高考物理专题精准突破
专题中心天体质量密度的计算问题
【专题诠释】
中心天体质量和密度常用的估算方法
【高考领航】
【2019·新课标全国Ⅰ卷】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止
向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。
在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。
已知星球M的半径是星球N的3倍，则（）
A ．M 与N 的密度相等
B ．Q 的质量是P 的3倍
C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍
D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍
【2019·浙江选考】20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。
现有一艘远离星球在太空中直 线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt 内速度的改变为Δv ，和飞船受 到的推力F （其它星球对它的引力可忽略）。
飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速 度v ，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T 的匀速圆周运动。
已知星球的半径为R ，引力常量用G 表示。
则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）
A ．F v t ∆∆，
2v R G B ．F v t ∆∆，32πv T
G C ．F t v ∆∆，
2v R G D ．F t v ∆∆，
32πv T
G
F t m v ∆=∆F t m v ∆=∆2224Mm
G m r r T π=22Mm v G m r r =32v T M G
π=
【2018·新课标全国II 卷】2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”， 其自转周期T =5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为11
226.6710N m /kg -⨯⋅。
以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约（ ） A ．93510kg /m ⨯
B ．123510kg /m ⨯
C ．153510kg /m ⨯
D ．183510kg /m ⨯
【技巧方法】
应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”
(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．
(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天
体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等． 【最新考向解码】
【例1】(2019·辽宁辽阳高三上学期期末)2018年7月10日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号甲运载火箭，成功发射北斗卫星导航系统的第32颗卫星。
作为北斗二号卫星的“替补”星，这名北斗“队员”将驰骋天疆，全力维护北斗卫星导航系统的连续稳定运行。
若这颗卫星在轨运行的周期为T ，轨道半径为r ，地球的半径为R ，则地球表面的重力加速度为( )
A.4π2r 3T 2R 2
B.4π2r 3T 2R
C.4π2r 3T 2r
D.4π2r 3T 2r
2 【例2】(2019·福建三明高三上学期期末)2019年1月3日上午，嫦娥四号顺利着陆月球背面，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。
地球和月球的半径之比为R R 0＝a ，表面重力加速度之比为g g 0＝b ，
则地球和月球的密度之比为( )
A.a b
B.b
a C. a
b D. b a
【微专题精练】
1.为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A 在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v ， 周期为T ；卫星B 绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n 倍．万有引力常量为G ，则下列计算不正确 的是
( )
A ．彗星的半径为vT 2π
B ．彗星的质量为v 3T 4πG
C ．彗星的密度为3πGT 2
D ．卫星B 的运行角速度为2πT n 3
2.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ； 地球自转的周期为T ，引力常量为G .则地球的密度为
( )
A.3π（g 0－g ）
GT 2g 0
B.3πg 0
GT 2（g 0－g ） C.3πGT
2 D.3πg 0GT 2g
3.利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ） A ．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转） B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
4.(2019·甘肃省武威一中高三(上)期末)木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为v 0时，上升的最大高度可达h 。
已知艾奥的半径为R ，引力常量为G ，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力。
则艾奥表面的重力加速度大小g ＝________；艾奥的质量M ＝________；艾奥的第一宇宙速度v ＝________。
5.我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为L 的单摆做小振幅振动的周期为T ，将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，则月球的密度为( ) A.πL
3GrT 2
B.3πL GrT 2
C.16πL 3GrT 2
D.3πL 16GrT 2
6.据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍．那么，一个在地球表面能举起64 kg 物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为(地球表面重力加速度g 取10 m/s 2)( ) A ．40 kg B ．50 kg C ．60 kg
D ．30 kg
7.公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t ，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T ，测得航天员所在航天器的速度为v ，已知引力常量G ，激光的速度为c ，则( )
A ．木星的质量M ＝v 3T 2πG
B ．木星的质量M ＝π2c 3t 3
2GT 2
C ．木星的质量M ＝4π2c 3t 3
GT 2
D ．根据题目所给条件，可以求出木星的密度
8.(2019·山东济南模拟)热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( )
A.3∶2 B．2∶3
C．4∶1 D．6∶1
9.“健身弹跳球”是最近在少年儿童中特别流行的一项健身益智器材，少年儿童在玩弹跳球时(如图所示)要双脚站在弹跳球的水平跳板上，用力向下压弹跳球，形变的弹跳球能和人一起跳离地面．该过程简化为：一、形变弹跳球向上恢复原状；二、人和弹跳球竖直上升. 假设小孩质量为m，人和球一起以速度大小v0离开地面还能竖直上升h高度(上升过程小孩只受重力作用)，地球半径为R，引力常量为G，求地球的质量．
10.如图所示，在某星球表面轻绳约束下的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点与最高点所受轻绳的拉力之差为ΔF，假设星球是均匀球体，其半径为R，已知万有引力常量为G，不计一切阻力．
(1)求星球表面重力加速度；
(2)求该星球的密度；
(3)如图所示，在该星球表面上，某小球以大小为v0的初速度平抛，恰好能击中倾角为θ的斜面，且位移最短，试求该小球平抛的时间．。