（ρ，2kπ+θ）（ ρ≥0）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3 ) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
从这向西 走800米。
请问：去…… 怎么走？
从 这 向 西 走 800米！
出发点
方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向（通常取逆时针方向）。
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(1, ) 4
C(3, ) 4
B(2, 3) 2
D(4, 9) 4
题组三： （1）在极坐标系中，与点
(3,
3
)
关
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
（＝＿2）＿已＿知＿A 。(5, 3),B(6,23)，则｜AB｜
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
在极坐标系中，(4 , )(4 ,, 2 )(4 ,, 2 )
66
6
表示的点有什么关系？
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的 两个顶点 A(2,),B(2,5)，则顶点C的 坐标是＿＿＿＿4＿＿。4
小结
（1）建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 （2）极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 （3）一点的极坐标有否统一的表达式
一般地，极坐标 (,)与
( , 2 k )k ( Z )表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的
对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M (ρ,θ)…
O无数个极坐标与之对 应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
例1. 将点M的极坐标( 5 , 2 )
化成直角坐标.
3
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
A (3, ) B (2, )
6
2
C (1, )
2
D (2, 3) 4
例2. 将点M的直角坐标( 3,1)
化成极坐标.
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从 OX到OM 的角度， 叫做点M的 极径， 叫做点M的极角，有序数 对（，）就叫做M的极坐标。
指出：（1）一般地，不作特殊说明时 ，我们认为ρ≥0， 可取任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为 （0，θ）， 可取任意值。
12 （ 3 ） 22 tan 3 3
1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2x 2y2,ta n y(x0 )
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.