石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试理科数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．i 为虚数单位， 512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生4．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(1,2)B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件6 ．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a =2b =，60A =︒，则B 为（ ） A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（ ）A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF=AMF ∆的面积为（ ）A ．1B 2C ．2D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（ ） A ．235x y z <<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x <<11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A ．11πB ．143πC ．283πD ．16π12.已知a 为常数，函数()212e 1+2x f x ax ax a =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是（ ）A ．0a < B. 01a << C ．()15f x > D ．()23f x > 二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点E ，交棱于点F ，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直； ④四边形.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6小题；共70分）17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计1111ABCD A B C D -1BD α1AA 1CC α1BFD E α1DBB 1BFDE的值：4242421114620,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()422116940,i i x x =∑-=()42215250,i i y y =∑-=其中,i i x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42i =，y 与x 的相关系数0.82r =．（Ⅰ）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系（不必说理由）；（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并估计如果B 考生参加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？附：回归方程y a bx =+中, 1122211()()=()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ya y bx x x xn b x====---==---∑∑∑∑，18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数). （1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，短轴长为2，直线l 与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O 为圆心的圆满足：此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），且OP ，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13a =时，求()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值； （Ⅱ）设函数()()1xg x e f x x=+-在区间()0,a e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=-+⎩为参数）．（Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3xOA παα∠=<<，B 为2C 上的一点，且3AOB π∠=，求AOB ∆面积的最大值．石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（理科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以， ，所以，................10分 将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ()()4242114235035042110748470i i i i i i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =○1当24480a ∆=-≤时，即0a -<，()0f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则126a x -=，226a x -=当0x <<或x >()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在，)+∞上单调递增；()f x 在22(66a --上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴∵DBF ∆为等边三角形，∴,DB EFDB EF =∴(()(,3,0,3,0,2,0AF AD EF =-=-=设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则320AF n x EF n y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅==⎪⎩取1x =，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面AEF 所成角为θ，………10分6,4AD n AD n ADn⋅==⋅分20．解：（1，可得c e a==， 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c =则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）存在符合条件的圆，此圆的方程为225x y +=． 证明如下：假设存在符合条件的圆， 设此圆的方程为222(0)x y r r +=>，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分由方程组222y kx mx y r =+⎧⎨+=⎩可得2222(1)20k x kmx m r +++-=，则△22222(2)4(14)()0km k m r =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，221221m r x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ， 所以222222222221212121212222212121222()()()111m r kmk km m y y kx m kx m k x x km x x m m r k k k k k m r x x x x x x m r k --+++++++-++=====--+ (9)分将2214m k =+代入上式，可得2222122222(4)1(4)14(1)r k r k k k m r k r -+-+==-+-，…………10分要使12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意． 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点1P ，2P 满足12k k 为定值14-，…………11分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-， 综上可得当圆的方程为225x y +=时，直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．……12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x-=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． ()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即 所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分 （Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae -()g x ()0,ae -()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+11 12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+- …………9分 当6πα=时，S ． 所以AOB ∆．…………10分。