七.最优潮流问题 随着电力系统规模的日益扩大以及一些 特大事故的发生，电力系统运行安全性问 题被提到一个新的高度上来加以重视。因 此，人们越来越迫切要求将经济和安全问 题统一起来考虑。而以数学规划问题作为 基本模式的最优潮流在约束条件的处理上 具有很强的能力。
七.最优潮流问题 最优潮流能够在模型中引入能表示成状 态变量和控制变量函数的各种不等式约束， 将电力系统对于经济性、安全性以及电能 质量三方面的要求，完美地统一起来。
T
T
七.最优潮流问题---简化梯度算法
L f g λ 0 x x x
L f g λ 0 u u u
T
T
L g(u, x )=0 λ
这是三个非线性 代数方程组，每组 的方程式个数分别 等于向量的维数。 最优潮流的解必须 同时满足这三组方 程。
七.最优潮流问题—数学模型 （1）目标函数采用发电燃料耗量（或 费用）最小： 以除去平衡节点以外的所有有功 电源出力及所有可调无功电源出力（或 用相应的节点电压），还有带负荷调压 变压器的变比作为控制变量，就是对有 功及无功进行综合优化的通常泛称的最 优潮流问题．
七.最优潮流问题—数学模型 （2）若目标函数同（1），仅以有功电源 出力作为控制变量而将无功电源出力（或 相应节点电压模值）固定，则称为有功最 优潮流。
NL
七.最优潮流问题—数学模型 因此可以直接采用平衡节点的有功注入 作为有功网损最小化问题的目标函数，即 有 (1-187) min f min P (U , θ)
s
除此之外，最优潮流问题根据应用场合 不同，还可采用其它类型的目标函数，如 偏移量最小、控制设备调节量最小、投资 及年运行费用之和最小等。
七.最优潮流问题 （3）基本潮流计算是求解非线性代数方 程组；而最优潮流计算从数学上讲是一个 非线性规划问题，因此需要采用最优化方 法来求解。 （4）基本潮流计算完成的只是一种计算功 能，即从给定的 u 求出相应的 x ；而最优 潮流计算是根据特定目标函数并满足相应 约束条件的情况下，自动优选控制变量， 具有指导系统进行优化调整的决策功能。
NL
七.最优潮流问题 可见，最优潮流的目标函数不仅与控制 变量有关，同时也和状态变量有关，因 此可用简洁的形式表示为 (1-188) f f (u, x )
七.最优潮流问题—数学模型 （三）等式约束条件 最优潮流是经过优化的潮流分布，为此 必须满足基本潮流方程。这就是最优潮流 问题的等式约束条件。用式(1-182)表示 的基本潮流方程式由于扰动变量 p 即负荷 一般都是给定的，所以该式可进一步简化 表示为 g(u, x) 0 (1-189)
七.最优潮流问题 最优潮流与经济调度的区别 建立在严格数学基础上的最优潮流模 型首先是由法国的Carpentier于20世纪60 年代提出的。由于基于协调方程式的经典 经济调度方法虽然具有方法简单，计算速 度快，适宜于实时应用等优点，但协调方 程式在处理节点电压越界及线路过负荷等 安全约束的问题上却显得无能为力。
s.t. g(u, x )=0 min f ( u, x )
u
七.最优潮流问题---简化梯度算法 采用经典的函数求极值的方法，将 L 分 别对变量 x，u 及 求导并令其等于零，即 得到极值所满足的必要条件为 L f g λ 0 (1-194) x x x L f g (1-195) λ 0 u L u u g(u, x )=0 (1-196) λ
x
七.最优潮流问题—数学模型 状态变量由需经潮流计算才能求得的 变量组成。常见的有： (1)除平衡节点外，其它所有节点的电 压相角； (2)除发电机节点以及具有可调无功补 偿设备节点之外，其它所有节点的电压 模值。
七.最优潮流问题—数学模型 ㈡ 最优潮流的目标函数 最优潮流的目标函数可以是任何一种按 特定的应用目的而定义的标量函数，目 前常见的目标函数如下。 （1）全系统发电燃料总耗量（或总费用） (1-183) f Ki ( PGi )
七.最优潮流问题—数学模型 （四）不等式约束条件 最优潮流的内涵包括了系统运行的安全 性及电能质量，另外可调控制变量本身 也有一定的容许调节范围，为此在计算 中要对控制变量以及通过潮流计算才能 得到的其它量（状态变量及函数变量） 的取值加以限制。这就产生了大量的不 等式约束条件，如： (1）有功电源出力上下限约束；
七.最优潮流问题---简化梯度算法 最优潮流计算的简化梯度算法以极坐标 形式的牛顿潮流算法为基础。
下面先讨论：
1.仅计及等式约束条件时算法的构成；
2.讨论计及不等式约束条件时的处理方法。
七.最优潮流问题---简化梯度算法 (一) 仅有等式约束条件时的算法 对于仅有等式约束的最优潮流计算，根 据式(1-191)，问题可以表示为 (1-192) 应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等 式约束 g(u, x) 0 中方程式数同样多的拉格 朗日乘子 ，则构成拉格朗日函数为 L(u, x) f (u, x) λT g(u, x) (1-193)
七.最优潮流问题（OPF）----概述
最优潮流与潮流计算的区别
前面介绍的潮流计算，可以归结为针对
p 一定的扰动变量 （负荷情况），根据给
定的控制变量 u （发电机的有功出力、无 功出力或节点电压模值等），求出相应 的状态变量 x （节点电压模值及角度）.
七.最优潮流问题（OPF） 通过一次潮流计算得到电力系统的 一个运行状态。这种潮流计算称为常规 潮流计算。常规潮流计算的结果满足潮 流方程式或者变量间的等式约束条件
f ( x,u, p) = 0
(1-182)
七.最优潮流问题
常规潮流计算存在以下两种问题: 1.常规潮流计算决定的运行状态可能由 于某些状态或者作为 u、x 函数的其它变量 超出了它们的运行限值，因而在技术上是 不可行的。对此实际上常用的方法是调整 某些控制变量的给定值，重新进行基本潮 流计算，这样反复进行，直到所有的约束 条件都满足为止。这样便得到了一个技术 上可行的潮流解。
七.最优潮流问题—数学模型 （五）最优潮流的数学模型 综上所述，电力系统最优潮流的数学模 型可以表示为 min f u , x u (1-191) s.t. g u , x 0 h u, x 0
七.最优潮流问题—数学模型 通过以上讨论可以看到，目标函数 f 及等式、不等式约束 g 及 h 中的大部分 约束都是非线性函数，因此电力系统的 最优潮流计算是一个典型的有约束非线 性规划问题。采用不同的目标函数并选 择不同的控制变量，再和相应的约束条 件相结合，就可以构成不同应用目的的 最优潮流问题。 例如：
七.最优潮流问题 最优潮流和基本潮流比较，有以下不同 点。 （1）基本潮流计算时控制变量 u 事先给定； u 而最优潮流中 则是待优选的变量，因此 u 在最优潮流模型中必然有一个作为 优选 准则的目标函数。 （2）最优潮流计算除了满足潮流方程这一 等式约束条件之外，还必须满足与运行限 制有关的大量不等式约束条件。
七.最优潮流问题---简化梯度算法 联立求解这三个极值条件方程组,可以 求得此非线性规划问题的最优解。但由于 方程数目众多及其非线性性质，联立求解 的计算量非常巨大，有时还相当困难。这 里采用的是迭代下降算法，其基本思想是 从一个初始点开始，确定一个搜索方向， 沿着这个方向移动一步，使目标函数有所 下降，然后由新的点开始，再重复上述步 骤，直到满足一定的收敛判据为止。
i Gi
i
七.最优潮流问题—数学模型 Ps (U , θ )为注入节点 s 而通过与节点 式中： s 相关的线路输出的有功功率； PLs为节点 s 的负荷功率。 所以式(1-183)可写为 f Ki ( PGi ) K s ( PGs ) iNG (1-185) is
NL
七.最优潮流问题—数学模型 （2）有功网损 f (P ij Pji ) (1-186) ( i , j )NL NL 表示所有支路的集合。 式中： 采用有功网损作为目标函数的最优潮流 问题，除平衡节点外，其它发电机的有功 出力都认为是给定不变的。因而对于一定 的负荷,平衡节点的注入功率将随网损的 变化而改变，于是平衡节点有功注入功率 的最小化就等效于系统总的网损的最小化。
七.最优潮流问题
2.对某一种负荷情况，理论上存在众多 的、技术上都能满足要求的可行潮流解。 这里每一个可行潮流解对应于系统的一个 特定的运行方式，具有相应总体的经济上 或技术上的性能指标（如系统总的燃料消 耗量、系统总的网损等）。
七.最优潮流问题 为了优化系统的运行，需要从所有可行 潮流解中挑选出上述性能指标最佳的一个 方案。而这就是本节要讨论的最优潮流问 题。 所谓最优潮流，就是当系统的结构参数 及负荷情况给定时，通过控制变量的优选， 找到的能满足所有指定的约束条件，并使 系统的性能指标或目标函数达到最优的潮 流分布。
七.最优潮流问题---简化梯度算法 虽经将近30年的努力，但继续寻找能够 快速、有效地求解各种类型的大规模最 优潮流计算问题，特别是能够满足实时 应用的方法，对广大研究者来说，仍然 是一个巨大的挑战。
七.最优潮流问题---简化梯度算法 下面介绍最优潮流计算的简化梯度法。 这个算法在最优潮流领域内具有重要的 地位，是最优潮流问题被提出后，能够 成功地求解较大规模的最优潮流问题并 被广泛采用的第一个算法，它直到现在， 仍然还被看成是一种成功的算法而加以 引用。
解耦最优潮流
x
七.最优潮流问题—数学模型 一 最优潮流的数学模型 ㈠ 最优潮流的变量 在最优潮流的算法中，常将所涉及的变 u通 量分成状态变量 x 及控制变量 u 两类。 常由调度人员可以调整、控制的变量组成； x u 确定以后， 就可以通过潮流计算确定下来。
x
七.最优潮流问题—数学模型 一般常用的控制变量有： （1）平衡节点以外发电机的有功出力； （2）所有发电机节点（包括平衡节点） 及具有可调无功补偿设备节点的电压模值； （3）带负荷调压变压器的变比。