dMf = ρdFf = ρfpds
总摩擦力矩Mf为 Mf =∫r ρR fpds = 2π f ∫rR pρ 2dρ
1）新轴端 对于新制成的轴端和轴承，或很少相对运动的 轴端和轴承，各接触面压强处处相等, 即 p=G/[π (R2-r2)] = 常数，
则
Mf =
2 3
fG(R3-r3)/(R2-r2)
2）跑合轴端 轴端经过一定时间的工作后，称为跑合轴端。 此时轴端和轴承接触面各处的压强已不能再假定为处处相等。而 较符合实际的假设是轴端与轴承接触面间处处等磨损，即近似符 合 pρ＝常数的规律。 则
Mf = 2πf∫rR(pρ) ρdρ
= fG(R+r)/2
根据 pρ =常数的关系知，在轴端中心部分的压强非常大， 极 易压溃，故轴端常作成空心的。
N21'
v
v12
11111 P
F21
2 Q
N 21 2

N 21
Q
2
二、移动副中的摩擦（续）-2
3）两构件沿圆柱面接触
❖N21是沿整个接触面各处反力的总和。 ❖整个接触面各处法向反力在铅垂方向
的分力的总和等于外载荷Q。
取N21=kQ
（k ≈1～1.57）
4）标准式
F21 fN 21 kfQ 令kf fv F21 fvQ
mB mK m

mBb mkk

mBb2

mK k 2

J
s



m
B


mk bk

m
k


mb bk
k

Js mb
5. 静代换和动代换
1）动代换：要求同时满足三个代换条件的代换方法。
二、质量代换法（续）
2）静代换：在一般工程计算中，为方便计算而进行的仅 满足前两个代换条件的质量代换方法。
一、研究摩擦的目的（续）
2. 摩擦的有用的方面： 有不少机器，是利用摩擦来工作的。如带传动、摩擦
离合器和制动器等。
二、移动副中的摩擦-2
1. 移动副中摩擦力的确定
F21=f N21 ❖当外载一定时，运动副两元素间法向反力 的大小与运动副两元素的几何形状有关：
1）两构件沿单一平面接触
N21= -Q
2）拧紧和放松力矩 ❖拧紧：螺母在力矩M作用下 逆着Q力等速向上运动，相 当于在滑块2上加一水平力P，使滑块2 沿着斜面等速向上 滑动。
P Qtg( ) M P d2 d2 Qtg( )
22
❖ 放松：螺母顺着Q力的方向 等速向下运动，相当于滑块 2 沿着斜面等速向下滑。
❖取通过构件质心 S 的直线上
的两点B、C为代换点，有：
mB mC mBb mCc
m

m B

m
C

mc bc
mb bc
❖B及C可同时任意选择，为工程计算提供了方便和条件；
❖代换前后转动惯量 Js有误差，将产生惯性力偶矩的误差：
M I mBb2 mC c2 J s mbc J s
❖R21与公法线偏斜的方向与构件1相对 于构件2 的相对速度方向v12的方向相反
3. 斜面滑块驱动力的确定
3. 斜面滑块驱动力的确定
N21
R21
v12
1）求使滑块1 沿斜面 2 等速上行
时所需的水平驱动力F
F21
F
（正行程）：

平衡条件： F Q R21 0 驱动力： F Q tan( )
（2）有害阻力：是指机械在运转过程中所受到的非生产 无用阻力，如有害摩擦力、介质阻力等。
✓损耗功：克服有害阻力所作的功。
注意
摩擦力和重力既可作为作正功的驱动力， 也可成为作负功的阻力。
二、机构力分析的目的和方法
1. 机构力分析的任务
1）确定运动副中的反力（运动副两元素接触处彼此的 作用力）； 2） 确定为了使机构原动件按给定规律运动时需加于机 械上的平衡力。
不论两运动副元素的几何形状如何，两元素间产生的 滑动摩擦力均可用通式：F21 fN 21 fvQ 来计算。
ƒv ------当量摩擦系数
二、移动副中的摩擦（续）-2
5）槽面接触效应 当运动副两元素为槽面或圆柱面接触时，均有ƒv＞ƒ
其它条件相同的情况下，沿槽面或圆柱面接触的运动副 两元素之间所产生的滑动摩擦力＞平面接触运动副元素之 间所产生的摩擦力。
三角形螺纹宜用于联接紧固；矩
形螺纹宜用于传递动力。
3）拧紧和放松力矩
M

P d2 2

d2 2
Qtg(
v )
M
P d2 2

d2 2
Qtg(
v
)
四、转动副中的摩擦
1. 轴颈摩擦
四、转动副中的摩擦（续）
1）摩擦力矩和摩擦圆
❖摩擦力F21对轴颈形成的摩擦 力矩 M f F21r fvQr ①
◆ 掌握构件惯性力的确定方法和机构动态静力分析的方法；
◆ 能对几种最常见的运动副中的摩擦力进行分析和计算;
§4-1 机构力分析的目的和方法
一、作用在机械上的力
1. 按作用在机械系统的内外分： 1） 外力：如原动力、生产阻力、介质阻力和重力；
2） 内力：运动副中的反力（也包括运动副中的摩擦力） 2、按作功的正负分： 1） 驱动力：驱使机械产生运动的力。
（2）总反力R21必切于摩擦圆。
（3）总反力R21对轴颈轴心O之 矩的方向必与轴颈1相对于轴承2
注意
的角速度 w12的方向相反。
▪ R21是构件2作用到构件1上的力，是构件1所受的力。 ▪ w12是构件1相对于构件2的角速度。 ▪ 构件2作用到构件1上的作用力R12对转动副中心之矩，
与构件1相对于构件2的角速度w12方向相反。
P Qtg( )
M P d2 d2 Qtg( )
22
三、螺旋副中的摩擦（续）
2. 三角形螺纹螺旋副中的摩擦 1） 三角形螺纹与矩形螺纹的异同点 ❖螺母和螺旋的相对运动关系完全相 同两者受力分析的方法一致。
❖运动副元素的几何形状不同在轴向载荷完全相同的情 况下，两者在运动副元素间的法向反力不同接触面间产 生的摩擦力不同。
其特征是该力其作用点速度的方向相同或成锐角，所作 的功为正功，称驱动功或输入功。
2） 阻抗力：阻止机械产生运动的力。
其特征是该力其作用点速度的方向相反或成钝角，所作 的功为负值。
一、作用在机械上的力（续）
❖阻抗力又可分为有益阻力和有害阻力。 （1）有益阻力：是指为了完成有益工作必须克服的生产 阻力，故也称有效阻力。 ✓有效功（输出功）：克服有效阻力所作的功。
Q
N21’
R21’

v12
2）求保持滑块1沿斜面2等速下滑 所需的水平力 F’
F21’ F’
（反行程）：
Q

平衡条件：F 'Q R'21 0
水平力： F' Q tan( )
F R21 + Q
F’
–
R21’ Q
二、移动副中的摩擦（续）
注意
▪ 当滑块1下滑时，Q为驱动力，F’为阻抗力，其作用为
2. 机构力分析的方法 1）对于低速度机械：采用静力分析方法； 2）对于高速及重型机械：一般采用动态静力分析法。
§4-2
构件惯性力的确定
一、一般力学方法
1. 作平面复合运动的构件：
❖ 构件BC上的惯性力系可简化为：
加在质心S上的惯性力PI和惯性力偶
矩MI


PI ma S
M I J S
3．平面高副中摩擦力的确定
平面高副两元素之间的相对运动通常是滚动兼滑动，故有滚
❖用总反力R21来表示N21及F21
由力平衡条件 R21 Q ② Md R21 M f
❖由①② M f fvQr fv R21r R21
Mf
R21

fvr
❖摩擦圆：以为半径所作的圆。
四、转动副中的摩擦（续）
2） 转动副中总反力R21的确定
（1）根据力平衡条件，R21Q
定的点上的集中质量来代替的方法。 2. 代换点和代换质量 ❖代换点：上述的选定点。 ❖代换质量：集中于代换点上的假想质量。
二、质量代换法（续）
3. 质量代换时必须满足的三个条件：
n
1）代换前后构件的质量不变； mi m i 1
2）代换前后构件的质心位置不变；
❖以原构件的质心为坐标原点时，应满足：
2 轴端的摩擦
轴用以承受轴向力的部分称为轴端。当轴端1在止推轴承2上
旋转时，接触面间G也将产生摩擦力。其摩擦力矩的大小确定如下： dρ ω
ω
1M Mf
r
2 2r 2R
轴端接触面
取环形微面积 ds = 2πρdρ， 设 ds 上的压强p为常数，则其正压 力dFN = pds ，摩擦力dFf = fdFN = fρds，故其摩擦力矩 dMf为
阻止滑块1 加速下滑。
▪ 如果α ，F’为负值，成为驱动力的一部分，作用为
促使滑块1沿斜面等速下滑。
自锁条件： 当 时，F’ 0，原工作阻力F’反向作用，作为驱动力
时，滑块才能移动
结论：当 时，滑块自锁
三、螺旋副中的摩擦
1. 矩形螺纹螺旋副中的摩擦 1）矩形螺纹螺旋副的简化
✓矩形螺纹： N Q
✓三角形螺纹：
△N三角cos Q
N三角

Q
cos
三、螺旋副中的摩擦（续）
2）当量摩擦系数和当量摩擦角