2
I
i
+1 t4
+j
(t=0) t0 o
t3
i Re[ 2Ie jt ]
t0 t1 t2 t3 t4 o
t
t1 t2
3.正弦量的运算 正弦量乘以常数、正弦量的微分、乘积以及同频率 正弦量的代数和，结果仍是一个同频率的正弦量。
①同频率正弦量的代数和 如：i1 2I1 cos(t 1), i2 2I 2 cos(t 2 )，… 则有：i i1 i2
两个复数相等：若 F1 a1 jb1 F2 a2 jb2
则有：a1 a2 b1 b2 ；或 F1 F2 arg(F1) arg(F2 )
§8.2正弦交流电 正弦交流电：随时间按正弦规律变化的电流和电压
称为正弦电流和正弦电压，统称为正弦交流电。用
正弦或余弦函数表示，即有：
i I m sin(t i ) A 或 i I m cos(t i ) A u U m sin(t u )V 或 u U m cos(t u )V 1.正弦量的三要素
逆时针旋转一个角度 ，模值不变；e j 称为旋转相
量因子。
c.除法;
F1 a1 jb1 (a1 jb1)(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 j a2b1 a1b2
F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a22 b22
a22 b22
F1 F2
F1 (cos1 j sin1) F2 (cos2 j sin2 )
其最大值相量为：Im 26 2e j60 A 26 260A 同理若有：U 220e V j30 则有;u 220 2 cos(t 30)V
2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie ji e jt 其中复常数 2Ieji 2Ii 称为旋转相量的复振幅，
diL dt
U L
jLIL
(U L
LI L )U L
超前
IL
为
2
L具有电阻的量纲，当 0时L 0，即电感对直流短路。
3.纯电容电路（VCR的相量形式）
iC C
+ uC
iC
C
duC dt
滞后 为 IC
1
j C
IC +j
-
+ U C -
i
IC jCU C (IC CU C ) U C
U C
u
+1
e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
i Re[ 2Ie ji e jt ] 的几何意义为，如图所示，
正弦电流i的瞬时值等于其对应的旋转相量 2Ie ji e jt
在实轴上的投影。
6
314
6
0.07 2 cos(314t 120)
4.相量法的应用（求解线性电路在正弦激励下微分
方程特解(稳态解)）
电路如图;已知，us 2Us cos(t u )V
求 I
+ u-s
i
R
L C
由KVL可得电路的微分方程，
Ri L
Re [ R(
di dt 2Ie
1
C
jt
idt us 其相量表示为：
Re[ 2I1e jt ] Re[ 2I2e jt ]
Re[ 2(I1 I2 )e jt ]
Re[ 2Ie jt ]
I I1 I2
即同频率正弦量的代数和仍为一同频率的正弦量。
②正弦量的微分
如：i
则 2I cos(t i )
di d Re[ dt dt
2Ie
jt
]
Re[
d dt
I s 5A角频率 10 3 rad / S, R 3, L 1H ,C 1F
1.纯电阻电路（VCR的相量形式）
iR R uR -
IR R
+j
+ U R -
IR
U R
i +1
uR RiR U R RIR (U R RI R ) u i 即相位差为零（同相）
2.纯电感电路（VCR的相量形式）
iL L
+
uL -
IL j L
+
U L
U L
-
+j
u
I L
i
+1
uL
L
复指数函数中的 Ie ji 是以正弦量的有效值为模、 初相角为幅角的一个复常数，这个复常数定义为正 弦量的相量。 记为：I Ie ji I i ------称为有效值相量； Im I me ji I m i ---称为最大值相量或振幅相量。
如 i 26 2 cos(t 60) A
对应的有效值相量为：I 26e j60 A 2660A
I
1 T
T 0
Im2
cos2 (t
i )dt
1 T
T 0
I
2 m
1
cos[2(t
2
i
0]
dt
Im 2
0.707Im
即正弦量的有效值等于最大值的 1 倍，或者说
最大值是有效值的 2 倍。
2
由此可得：i Im cos(t i )A 2I cos(t i )A
3.相位差（描述两个同频率正弦量之间的相位差）
14.05 j2.34 14.24 170.54
i1 i2 14.24 2 cos(314 t 170 .54) A
(2)时域直接求解：di1 10 2 314sin(314t 60)
dt 3140 2 cos(314t 60 90)
3140 2 cos(314t 150)
2I cos(t i ) 则 idt Re[ 2Ie jt ]dt Re[ 2Ie jt dt]
Re[
2( I )e jt ]
j
2
I
cos(t
i
)
2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原
相表示量为I： i除dt 以jIj.
I
(
i
2
n重积分的相量表示为：
) I
( j
)
n
I
n
( i
n )
2
例题：已知，两个同频率正弦电流分别为
i1 10 2 cos(314t
求（1）i1 i2 ? 解：（1）I I1
3
I2
5
)A
i2 22
2 cos(314t
)A 6
（2）di1 ? （3）i2dt ?
dt
1060 22 150 (5 j8.66
，
) (19
.05
j11)
0
时称 i1 与 i2 反相。
§8.3相量法基础 在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中 各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦 量；如果电路中有多个激励且都是同频率的正弦量 则根据线性电路的叠加性质，电路全部稳态响应都 将是同一频率的正弦量。处于这种稳定状态的电路 称为正弦稳态电路，又称为正弦交流电路。
用相量求解; K jI1 j314 1060 3140 (60 90) 3140 150
di1 3140 2 cos(314t 150) A dt
（3）用相量求解为：K 2
I2
j
22 150 0.07120 314 90
时域求解为： i2dt 22
2 cos(314t 5 )dt 22 2 sin(314t 5 )
相量法是分析求解正弦交流电路稳态响应的 一种有效工具。
1.相量
复数F F e j F e j(t ) F cos(t ) j F sin(t )
即有 Re[F] F cos(t ) 如i 2I cos(t i )A 可以用复指数函数描述为：
i 2I cos(t i ) Re[ 2Ie j(ti ) ] Re[ 2Ie ji e jt ]
第八章相量法
内容提要：复数及其表示； 正弦量的表示； 电路元件及电路定律的相量形式。
本章重点：正弦量的表示； 电路元件及电路定律的相量形式。
本章难点： 正弦量与相量的关系。
第八章相量法
相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便而又有
效的方法。内容包括：复数、正弦量、相量法基础、
电路定律的相量形式
§8.1复数 1.复数的表示（如图所示）
如 i1 Im1 cos(t i1) A 和 i2 Im2 cos(t i2 ) A 则 i1 与 i2
的相位差12 (t i1) (t i2 ) i1 i2 （初相之差）
当 12 时称
0
i1
时称
与 i2
i1 超前i2
同相；12
;
12
2
0 时称 i1 时称 i1 与
滞后i2 ; 12 i2 正交；12
F F1F2 F1 F2 [cos(1 2 ) j sin(1 2 )] ----三角形式
F
F1F2
F1 e j1
F2 e j2
F1
F e j(12 ) 2
-----指数形式
F 1F2 F1 1 F2 2 F1 F2 (1 2) ---极坐标形式
任何复数（相量）乘以e j 等于把该复数（相量）
(
2Ie jt )]
Re[
2( jI )e jt ] Re[
2
Ie
j
(t
2
i
)
]
2I
cos(t
i
2
)
即正弦量的微分（导数）是一个同频率的正弦量，
其值等于原正弦量乘以( j).
也同可理以有表：d示ni 为(;jddti)