理化学过程与其有关，因此，扩散成为材料科学的主 要内容之一。
扩散的分类
（1）根据有无浓度变化 自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。 （如纯金属或固溶体的晶粒长大。无浓度变化。） 互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩散。 （有浓度变化）
（2）根据扩散方向 下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。 造成浓度均匀化 上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。 造成浓度差异
t3 t2 t1 C2
限 长
不同时刻
问
边 界 条 件 ： t≥0 时 ,
扩散元素
题
浓度分布曲线
及
x=∞，C=C1,
t1< t2< t3
其 解
C1
x=－∞, C=C2
0
x
令 则
，x 代入
Dt c dc
c D 2 c
t
x 2
x dc
t dt 2 Dt3/2 d
c x
ddcxddc
1 Dt
2c ;;;;;;x2
（3） Fick第二定律的解
非稳态扩散方程是偏微分方程，解的形 式与边界条件、初始条件等有关。 一般需要数值求解； 但是，在边界条件、初始条件较简单时， 可以求出解析解。
误差函数解
设扩散系数D是常数；
初始条件：t=0时,
C 2>C 1的 扩 散 偶
A
C2
C1
B
x>0，C=C1，
扩散方向
一
维
C
无
x<0， C=C2
均匀化退火
C
若要将浓度起伏降低 C max
到原来的1/100,
C m ean
即
exp
2 Dt l2
0 .01
C m in 0
所需时间
2
l
Dt
2
4 .605
ln( 0 .01 )
l2 t 0 .4666
D
晶粒细小，波长越短，
耗时越短。
晶粒
晶粒平均直径
退火后浓度
A
扩 散 方 程 的 正 弦 解 与 均 原始浓度 匀 化 退 火
0
4
（3）
此积分与高斯误差函数相似，无法求得
解析解。 正态分布概率密度f (x)
21expx222
erf () 2 exp(y2)dy
0
令
x
2 2 Dt
2
x
cA e x p ()d B A2D te x p (2 )d B
0
4
0
（3）成为 CAerf x B
2 Dt
利用边界条件，定出积分参数：
第三章 固体中的扩散
扩散的现象与本质
物质传输方式：对流、扩散 。 与流体中的粒子类似，部分原子通过自身的热振动可 以迁移它处。 扩散本质：由于分子（原子）无序跃迁(热运动、布朗 运动)而引起的物质迁移现象。 扩散不是原子的定向移动，而是无序运动的统计结果。
实际材料中的扩散举例
• 成分均匀化－如金属铸件的凝固及均匀化退火。 • 变形材料的处理－冷变形金属的回复和再结晶。 • 陶瓷材料制备－陶瓷或粉末冶金的烧结。 • 固态相变－扩散型相变。 • 材料表面改性－各种表面处理、半导体材料的掺杂等。 • 扩散是固体材料中的一个重要现象，材料中的许多物
（1）扩散第一定律ຫໍສະໝຸດ 1855年Adolf Fick在实验基础上，提出经验 规律-扩散第一定律，扩散原子的扩散通量与 浓度梯度成正比:
J D dC dx
J 扩散通量，单位时间通过垂直于扩散方向单位截 面积的物质量；如mol/s•m2
D 扩散系数，量纲m2/s C 扩散物质的体积浓度，如mol/m3 - 表示扩散方向与浓度梯度方向相反。
CC1C2C1C2erf x
2
2 2Dt
高斯误差函数
半无限边界问题
表 面 扩 散 元 素 浓 度 C s且 恒 定
扩 散 物 体 中 扩 散 元 素 浓 度 C0
一
扩散方向
维
C
半
X=0, C=Cs; x=,C=C0 Cs
无
限
不同时刻
长
扩散元素
问
代入
CAerf 2
x B Dt
浓度分布曲线
题
及
t1< t2< t3
dd2c2
1 Dt
则菲克第二定律为
2
d d
2c（2 1）ddc
取试探解 dcAexp代(入n式) （1）则有 d
2 A e x p ( n ) ( n n 1 ) A e x p ( n )
（2）
比较得n=2, =1/4 代入试探解化简有
积分
dc
2
Aexp( )
d
4
c Aexp(2)dB
其
C0 t1
t2
t3
解
0
x
利用边界条件，定出积分参数
CCS(CSC0)erf2xDt
纯铁渗碳问题
纯铁渗碳时，在含碳 量不变的气氛中，C 浓度分布的试验结果 与计算结果符合很好。
抛物线规律
应用中，常以给定碳浓度值作为渗碳层的界限， 然后确定在一定温度下所需要的渗碳时间。 对于一定界面C， x/2(Dt)1/2为定值； 即 渗层厚度x符合 x2 Kt 式中K为比例系数，这个关系式常称为抛物线 时间规律。这一关系被广泛地应用于如钢铁渗 碳、晶体管或集成电路生产等工艺。 在一指定浓度C时，增加一倍扩散深度则需延 长四倍的扩散时间。
（3）根据是否出现新相 原子扩散：扩散过程中不出现新相。 反应扩散：由之导致形成一种新相的扩散。
固态扩散的条件
扩散与原子热运动（点缺陷的运动）相关，因此必须 满足以下条件才能实现：
（1）温度足够高； （2）时间足够长； 对于溶质的扩散，还要满足： （3）扩散原子能固溶； （4）具有驱动力：化学位梯度。
本章主要内容
扩散定律 扩散的原子理论 扩散的热力学 反应扩散 影响扩散系数的因素
3.1 扩散定律
(对于互扩散) 扩散时，虽然单个原子的热运动是完全 随机的，但是宏观上往往表现出有方向 性的物质传输，如浓度变化。 说明一定有某种推动力存在，常见的推 动力是浓度梯度。 扩散方程反映了浓度与扩散量之间的关 系。
这样在扩散过程中，单元体中溶质积累
速率：
C 1dx (J1 J 2)t
C t
1 dx
J1 J2
C t
x
D
C x
三维情况下： C t x D C x y D C y z D C z 如果D与浓度无关，且为各向同性，则：
Ct Dx2C2 y2C2 z2C2
如果浓度梯度随时间变化，使用第一定 律就不太方便；
这时需要利用第一定律的推论-扩散第二 定律。
（2）扩散第二定律
Ⅰ、Ⅱ为垂直于扩 散方向x的两个单 位截面，相距dx;
J1和J2分别为扩散 时进入和流出两截 面的扩散通量。
J1
D
dC
dx x
J2D d d C xxdx J1 x D d d C xxdx