(2)m>2，∴0<m1 <12(注意隐含条件 m>0，故m1 >0)． (3)当 0<m<2 时，m1 >12； 当－3<m<0 时，0<－m<3，－m1 >13， ∴m1 <－13. 综上所述，m1 >12或m1 <－13.
[变式训练 6] 下列四个不等式：①a<0<b；②b<a<0； ③b<0<a ； ④0<b<a ， 其 中 能 使 1a < 1b 成 立 的 充 分 条 件 有 ________．
③在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种 合适的方法，要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式 一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．
• (2)在证明不等式时还可以利用已经证明的 结论，或者利用不等式的性质对不等式进 行变形，使不等式变成简单易于比较大小 的形式，再比较大小得出结论，需要注意 的是，有些结论的递推是双向的，而有些 是单向的，例如，不等式性质中的对称性 就是双向的，而传递性就是单向的，在不 等式两边同乘一个数或式子的时候，必须 先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘 后是否改变符号．
那么⑮________. • 友情提示：(1)要特别注意性质2、3中⑯
________的符号，因为⑰________的符号 相异，结论恰好相反．
• (2)所有性质中的a和b可以是⑱________，
• 答案：
• ①常量与常量 ②变量与常量 ③函数与 函数 ④一组变量 ⑤a>b ⑥a－b<0 ⑦a＝b ⑧a>b ⑨a＝b ⑩a<b ⑪符号 ⑫a＋c>b＋c ⑬ac>bc ⑭ac<bc ⑮a>c ⑯c ⑰c ⑱实数 ⑲式子
解析：∵x∈R，m∈R， ∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx) ＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1) ＝x2＋(2m－1)x＋(2m2－1)2－(2m2－1)2＋2m2＋1 ＝(x＋2m2－1)2＋m2＋m＋34 ＝(x＋2m2－1)2＋(m＋12)2＋12>0. ∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
• ②当b>a>0时，a－b<0，bn>an. • ∴(a－b)(bn－an)<0. • ③当a＝b>0时，a－b＝0. • 所以(a－b)(bn－an)＝0. • 综上所述，(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋
1)≤0. • 即(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn－1)．
3 a 3 b
• (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以 采用反证法进行证明，具体可以根据课本
• [例1] 对于实数a、b、c，判断下列命题 的真假：
• (1)若a>b，则ac>bc； • (2)若a>b，则ac2>bc2； • (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； • (4)若a<b<0，则 • (5)若a<b<0，则
• [变式训练3] 若m>0，比较mm与2m的大 小解．析：注意到 mm>0,2m>0，为了比较 mm 与 2m 的大小，
采用作商法．当 m＝2 时，m2mm＝(m2 )m＝(22)2＝1，此时，mm＝ 2m；
当 0<m<2 时，(m2 )m<1，此时 mm<2m；当 m>2 时，(m2 )m>1， 此时 mm>2m.
• [例2] 已知x>1，比较x3＋6x与x2＋6的大 小．
• 解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6 • ＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)， • ∵x>1，∴(x－1)(x2＋6)>0，∴x3＋6x>x2＋6.
• [变式训练2] 设m∈R，x∈R，比较x2－x ＋1与－2m2－2mx的大小．
• 解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无 法确定ac与bc的大小，所以是假命题；
• (2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c ＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；
• 变式：若ac2>bc2，则a>b，此命题是真命 题；
• (3)a<b，a<0⇒a2>ab；a<b，b<0⇒ab>b2， 命题是真命题；
• 对于D：由指数函数的性质可知，2x>0， • 又∵a>b，∴a·2x>b·2x成立，故选择D.
• 答案：D
• 实数(或式)比较大小的依据是a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0(或a>0， b>0时， >1⇔a>b)．
• 方法步骤是作差(商)——变形——判断大于或 小于零(大于1或小于1)．关键是变形，变 形的目的在于便于判断正负．常见的变形 有因式分解、配方等．
(4)由性质定理 a<b<0⇒1a>1b，命题是真命题； (5)例如－3<－2<0，23<32，命题是假命题．
－a>－b>0 －a>－b>0
a<b<0⇒1 1 a>b
⇒－1b>－1a
⇒ab>ba.
• [变式训练1] 如果a>b，则下列各式正确 的是( )
• A．a·lgx>lgx·b(x>0)
• B．ax2>bx2 • C．a2>b2 • D．a·2x>b·2x
• 1.不等式与等式之间主要有哪些异同？
• 不等式与等式是生活、生产实践中最常见 的关系式，其相异的性质主要在与数相乘 时，不等式两边乘(除以)的数的符号不同 时，结论不同；而等式则不然．等式与不 等式的性质对比如下表：
• 2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及 注意事项呢？
• 证明一个不等式和比较实数的大小一样，根 据题目的特点可以有不同的证明方法．
• 如果a－b>0，那么⑤________；
• 如果⑥________，那么a<b；
• 如果a－b＝0，那么⑦________.
• 友情提示：事实上，以上三组条件与结论 反过来也是成立的. 即a－b>0⇔⑧ ________；a－b＝0⇔⑨________；a－ b<0⇔⑩________.
• 2．比较实数大小的方法．
∴3 a2＋3 ab＋3 b2>0. ∴a－b>0，a>b.
证法
2：若3
b≥0，则3
3 a>
b≥0，
(3 a)3>(3 b)3，即 a>b；
若3
a≤0，则
0≥3
3 a>
b，－3
b>－3
a≥0，
(－3 b)3>(－3 a)3，即－b>－a，a>b；
若3 a>0>3 b，则(3 a)3>0，(3 b)3<0，即 a>0，b<0， ∴a>b. 综上知：a>b.
• [例8] 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲
一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时
• [例3] 比较aabb与abba(a、b为不相等的正数) 的解大析小：作．商得aaabbbba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b.
当 a>b>0 时，ab>1，a－b>0，所以(ab)a－b>1； 当 0<a<b 时，ab<1，a－b<0，所以(ab)a－b>1. 综上有 aabb>abba.
解析：1a<1b⇔b－ aba<0⇔b－a 与 ab 异号，而①②④能使 b－a 与 ab 异号．
答案：①②④
• [例7] 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－ 1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
• 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以 利用换元法来求解．在求解时一定要注意 已知条件中a、b的关系，准确把握a、b的 取值范围，否则容易出错．下面我们再用 一种新的方法——待定系数法来求解．
• [变式训练5] 已知a>b，c<d，求证：a－ c>b－d.
• 证明：证法1：由a>b知a－b>0，由c<d知d －c>0，
• ∵(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)>0，
• ∴a－c>b－d.
• 证法2：∵c<d，∴－c>－d.
• 又∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b －d.
解析：由已知得 2≤f(1)＝a＋b≤4,1≤f(－1)＝a －b≤2，又 f(－2)＝4a－2b.
设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－ n)·b. 于是得mm＋－nn＝＝42，， 解得mn＝＝13.，
• ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． • ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， • ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
• 比较两个实数a与b的大小，需归结为判断 它们的差a－b的⑪________(注意：这里指 差的符号，至于差的值究竟是什么，无关 紧要)．
• 三、不等式的性质
• 1．若a>b，则⑫________； • 2．若a>b，c>0，则⑬________； • 3．若a>b，c<0，则⑭________. • 4．不等关系的传递性：如果a>b，b>c，
• [例5] (一题多解)求证：
⇒a>b.
• 分析：本题可以用比较法证明；也可以用 不等式性质得到证明．
证明：证法 1：a－b＝(3 a)3－(3 b)3.