1 ＝1,
a n1
an 1 an
(n∈N
* ),
试猜想该数列的通项公式。
不完全归纳法
数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：
思考：归纳法有什么优点和缺点？ 优点：可以帮助我们从一些具体事
例中发现一般规律 缺点：仅根据有限的特殊事例归纳
得到的结论有时是不正确的
在使用归纳法探究数学命题时，必须 对任何可能的情况进行论证后，才能判 别命题正确与否。
证明一个与正整数有关的命题步骤如下：
(1) 证明当n取第一个值n = n0 n0 N* 时命题成立
归纳奠 基
(2) 假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时命题成立, 证明 当n＝k＋1时命题也成立．
归纳递推
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0 开始的所有正整数 n都正确．
——这种证明方法叫做数学归纳法．
框图表示了数学归纳法的基本过程：
（1）验证：n=n0 （n0∈N+）
时命题成立。
（2）证明：假设n=k（k≥n0） 时命题成立，
证明n=k+1时命题也成立。
归纳奠基
归纳递推
结论：命题对所有的n （n0∈N+， n≥n0）成立
师生互动 讲练结合
情境1.观察下列各等式，你发现了什么？
12 1 2 3 , 6
对于所有的正整数n都是成立的。
递推依据
例1 证明：
递推基础
1 2 2 2 3 2 4 2 n 2 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) ( n N * ) . 6
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即
1 2 2 2 3 2 4 2 k 2 k (k 1 ) (2 k 1 )
那么,当n=k+1时，有 1 2 2 2 3 2 4 2 6 k 2 ( k 1 ) 2
k(k1)(2k1)(k1)2
从n=k到n=k+1有什么变化
6
凑假设
(k1)[(k1)1][2(k1)1]
6
凑结论
即当n=k+1时,等式也成立。
目 标 综： 1 2 上 2 ①2 ②3 2 可 知4 2 ， 对 任k 2 何 ( nk N1 *) 等2 式( k 都 1 成) [ ( 立k 。1 ) 6 1 ] [ 2 ( k 1 ) 1 ]
类比多米诺骨牌游戏证明猜想
1 2 2 2 3 2 4 2 n 2 n (n 1 ) (2 n 1 ). 6
的步骤为：
(1)证明当n=1时猜想成立 相当于第一张牌能倒下
(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时 命题也成立.
相当于使所有骨牌倒下的第2个条件 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想
变式训练1：2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*) 证明 ：假设当n=k时等式成立，即
2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)
那么，当n=k+1时，有
缺乏“递推基础”
2+4+6+8+…+2k+2（k+1)
=k2+k+1+2(k+1)
事实上，我们可 以用等差数列求
和公式验证原等
=(k+1)2+(k+1)+1 , 式是不成立的！
一定导致后一块倒下.
思考：你认为条件（2）的作用是什么？
思考：能否类比这种方法来解决不完全归 纳法存在的问题呢？
探究发现 形成概念
引例
在数列{ a n }中, a 1＝1,
a n 1
an 1 an
(n∈
N
)*,
（1）求a 2，a 3 ，a 4 的值；
（2）试猜想该数列的通项公式．
a21 2, a31 3 ,a41 4
12 22 2 3 5 , 6
思考：你由不完全归纳法 所发现的结论正确吗？若
12 22 32 3 4 7 ,
不正确，请举一个反例;
6
若正确，如何证明呢？
Hale Waihona Puke 12 22 32 42 4 5 9 ,
6
.
归纳
1 2 2 2 3 2 4 2 n 2 n (n 1 ) (2 n 1 ). 6
2.3数学归纳法(第一课时)
故事情境
从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。 第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个 “二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了， 并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。 于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五” 一定是五横，以此类推，…
从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去 上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出 自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。
因此，对于任何nN*等式都成立。
变式训练2：1 1 2 2 1 3 n ( n 1 1 ) n n 1 ( n N * )
证明
①当n=1时,左边=
1 1 1• 2 2
,
右边=
1 11
1 2
此时，原等式成立。
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即
思考1：与正整数n有关的数学命题能 否通过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n 有关,我们能否找到一种既简单又有效的 证明方法呢？
问题情境三
多 米 诺 骨 牌 游 戏
这个游戏中，能使所有多米若骨 牌全部倒下的条件是什么？
需满足以下两个条件： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相临两块骨牌，前一块倒下
问题4:在数列{
an
}中, a 1＝1,
a n 1
1
an an
（1）求a 2，a 3 ，a 4 的值；
（2）试猜想该数列的通项公式．
(n∈ N )*,
11 1 a22, a33 ,a44
1 an n
像这种由一系列特殊事例得出一般结论的 推理方法，叫做归纳法。
归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法
（1）完全归纳法：考察全体对象，得到 一般结论的推理方法
（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）
（2）不完全归纳法，考察部分对象，得 到一般结论的推理方法
（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）
完全归纳法
问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们 都是绿色的？
a 问题2:在数列{ a n }中,
an
1 n
你能证明这个猜想是正确的吗？
第一块 骨牌倒下
任意相邻的两块牌， 前一块倒下一定导 致后一块牌倒下．
1 2 3 4 …… k K+1 ……
…… n=1时 a1 1
猜想成立
第一项成立
如果n=k时猜想成立即
ak
1 k
1
那么当n=k+1时猜想也成立，即a k 1
k 1
1
=
1 k +1
k
第k项成立， 第k+1项成立．