第十一章 统计1.随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性．(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． 2．用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． 3．变量的相关性(1)会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)．4．了解回归分析的思想、方法及其简单应用． 5．了解独立性检验的思想、方法及其初步应用．11．1 随机抽样1．简单随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个________地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种：________法和________法．抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N 个个体________，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取______个号签，连续抽取________次，就得到一个容量为n 的样本． 随机数法：随机数法就是利用______________、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样． 简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的． 2．系统抽样(1)一般地，假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样： ①先将总体的N 个个体________．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；②确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ，如果遇到Nn不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；③在第1段用______________抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上________得到第2个个体编号________，再________得到第3个个体编号________，依次进行下去，直到获取整个样本．(2)当总体中元素个数较少时，常采用____________，当总体中元素个数较多时，常采用______________．3．分层抽样(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成________的层，然后按照一定的________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)当总体是由__________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是________的．自查自纠1．(1)不放回都相等(2)抽签随机数编号1n随机数表2．(1)①编号③简单随机④间隔k(l＋k)加k(l＋2k)(2)简单随机抽样系统抽样3．(1)互不交叉比例(2)差异明显(3)均等(2015·四川)某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法解：按人数比例抽取，则用分层抽样最合理．故选C.某学校高三一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是()A．1，2，3，4，5，6B．6，16，26，36，46，56C．1，2，4，8，16，32D．3，9，13，27，36，54解：由系统抽样知识知，所选取学生编号之间的间距相等且为10，故选B.(2015·泉州校级期末)采用系统抽样的方法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为()A．40，5 B．50，5 C．5，40 D．5，50解：因为2 005÷50＝40余5，所以用系统抽样法从2 005个个体中抽取一个容量为50的样本，抽样间隔是40，且应随机剔除的个体数为5.故选A.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为________．解：由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N ，解得N ＝808.故填808.(2017·云南昆明检测)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________．解：设全体员工中对户外运动持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x 、x 、3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6，所以对户外运动持“喜欢”态度的有6×6＝36(人)．故填36.类型一 简单随机抽样某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人调查学习负担情况．请用抽签法设计一个抽样方案． 解：(抽签法)第一步：编号，把43名运动员编号为1～43；第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数； 第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次(不放回抽取)，从而得到容量为5的入选样本． (随机数表法)第一步，将43名足球运动员进行编号01～43.第二步，在随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向．比如：选第7行第7个数“5”，向右读．第三步，从“5”开始向右每次读取两位，凡不在01～43中的数或已读过的数，都跳过不作记录，依次得31，24，06，04，21.第四步，以上号码对应的5个人就是要抽取的对象．(答案不唯一)【点拨】考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法很容易获取样本，但须按这两种抽样方法的操作步骤进行．注意掌握随机数表的使用方法．学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学． 解：第一步，将32名男生从00到31进行编号；第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号； 第三步，将写好的号签放在暗箱内摇匀，不放回地逐个从中抽出10个号签； 第四步，相应编号的男生参加合唱；第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱．类型二 系统抽样(2015·天津检测)从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．解：由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下：第一步，先将802辆轿车编号为001，002，003，…，802.然后从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)．第二步，将余下的800辆轿车编号为1，2，…，800，并均匀分成80段，每段含80080＝10个个体．第三步，从第1段即1，2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号． 第四步，从5开始，再将编号为15，25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．【点拨】①总体容量和样本容量都较大时，选用系统抽样比较合适；②系统抽样的号码成等差数列，公差为每组的容量．将参加学校期末考试的高三年级的400名学生编号为001，002，…，400，已知这400名学生到甲、乙、丙三栋楼去考试，从001到200号在甲楼，从201到295号在乙楼，从296到400号在丙楼．现采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的首个号码为003，则三个楼被抽中的人数依次为________．解：由系统抽样的方法先确定分段的间隔k ，k ＝40050＝8，故甲楼被抽中的人数为：2008＝25(人)．因为95＝11×8 ＋7，故乙楼被抽中的人数为12人． 故丙楼被抽中的人数为50－25－12＝13(人)． 故填25，12，13.类型三 分层抽样某企业共有5个分布在不同区域的工厂，职工3万人，其中职工比例为3∶2∶5∶2∶3.现从3万人中抽取一个300人的样本，分析员工的生产效率．已知生产效率与不同的地理位置的生活习俗及文化传统有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程． 解：应采取分层抽样的方法．过程如下： (1)将3万人分为五层，其中一个工厂为一层． (2)按照样本容量的比例随机抽取各工厂应抽取的样本：300×315＝60(人)；300×215＝40(人)；300×515＝100(人)；300×215＝40(人)；300×315＝60(人)．因此各工厂应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人． (3)将300人组到一起即得到一个样本．【点拨】分层抽样的实质为按比例抽取，当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层抽样．应认识到，在各层抽取样本时，又可能会用到简单随机抽样，系统抽样，甚至分层抽样来抽取样本．(2016·天津期末)某公司有1 000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了解公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取____________人．解：应抽取一般员工120×80%＝96人．故填96.1．简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，它的特点是：(1)它要求总体个数较少；(2)它是从总体中逐个抽取的；(3)它是一种不放回抽样．2．系统抽样又称等距抽样，号码序列一旦确定，样本即确定好了．但要注意，如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，那么样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向．3．分层抽样一般在总体是由差异明显的几个部分组成时使用．4．抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中均匀分段后的第一段，可采用简单随机抽样；分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样等．5．三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽样总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在匀速的自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验解：选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．故选D.2．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A ．50 B ．40 C ．25 D ．20解：由1 00040＝25，可得分段的间隔为25.故选C .3．(2016·豫南九校模拟)某网络零售平台对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500 000份，其中购买下列四种商品的人数统计为：服饰鞋帽198 000人，家居用品94 000人，化妆品116 000人，家用电器92 000人．为了解消费者对商品的满意度，该平台用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116份，则在购买“家居用品”这一类中抽取的问卷份数为( ) A ．92 B ．94 C ．116 D ．118解：在购买“化妆品”这一类中抽取了116份，设在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x ，则116116 000＝x 94 000，解得x ＝94.故选B . 4．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个．用系统抽样法从中抽取容量为20的样本，则二级品中每个个体被抽取到的概率是( ) A.15 B.16 C.59 D.310解：二级品中每个个体被抽到的概率等于所有零件中每个个体被抽取到的概率，所以所求的概率为20120＝16.故选B .5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 32049234493582003623486969387481 A.08 B ．07 C ．02 D ．01解：从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编号分别为08，02，14，07，01，…，因此选出来的第5个个体的编号为01.故选D .6．(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：因为35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．故选B .7．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，己知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为________．解：抽样间隔为524＝13，又已知46－33＝13，故另一位同学的编号为7＋13＝20，故填20.8．(2015·浙江模拟)某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250 ； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265 ； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254 ； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270 . 关于上述样本的下列结论： (1)②③都不能为系统抽样 (2)②④都不能为分层抽样 (3)①④都可能为分层抽样 (4)①③都可能为系统抽样正确的是____________．(填上所有正确结论的编号)解：根据三种抽样方法的特征，若是分层抽样，则各年级应占的比例为4∶3∶3，①②③均适合；若是系统抽样，则抽取的样本号码应该构成公差为27的等差数列，且首项小于或等于27，①③适合，④的首项为30，不是系统抽样，综上知，故填(4)．9．为了考察某校的教学水平，将抽查该校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面地反映实际情况，采用以下三种方式进行抽样(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．根据上面的叙述，回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中各自采用了何种抽取样本的方法？解：(1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.(2)第一种采用简单随机抽样法；第二种采用系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用分层抽样法和简单随机抽样法．10．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．解：田径运动员的总人数是56＋42＝98(人)，要得到28人的样本，占总体的比例为27.于是，应该在男运动员中随机抽取56×27＝16(人)，在女运动员中随机抽取28－16＝12(人)．这样，就可以得到一个容量为28的样本．11．某装订厂平均每小时大约装订图书362册，需要检验员每小时抽取40册图书，检验其质量状况，请你设计一个抽样方案．解：第一步，把这些图书分成40个组，由于36240的商是9，余数是2，所以每个小组有9册书，还剩2册书．这时抽样距就是9.第二步，先用简单随机抽样的方法从362册书中抽取2册，不进行检验． 第三步，将剩下的书进行编号，编号分别为0，1， (359)第四步，从第一组(编号为0，1，…，8)的书中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，设其编号为k.第五步，顺次抽取编号分别为下面数字的书：k，k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共就抽取了40个样本．(2016·荆门元月调考)将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，分组后，在第一组采用简单随机抽样抽得的号码为003.这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为()A．14 B．15 C．16 D．21解：由题意可知，将500名学生平均分成50组，每组10人，第k(k∈N*)组抽到的号码为10(k－1)＋3.令356≤10(k－1)＋3≤500(k∈N*)，解得37≤k≤50，则满足37≤k≤50的正整数k有14个，故第三考点被抽中的学生人数为14人．故选A.。