类似地:可定义空间曲线在其它坐标 面上的投影. yOz面上的投影曲线
C
xOz面上的投影曲线
T ( x , z ) 0 y 0
R( y , z ) 0 x 0
x y z 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2 3 xOy面的 解 (1) 消去变量z后得 x 2 y 2 4 投影柱面
2 2 2
在 xOy面上的投影为
3 2 2 x y 4 z 0
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2 1 (2) 因为曲线在平面 z 上，所以在 xOz面上 2
的投影为线段. z 1 3 | x | 2 2 y 0 (3) 同理在yOz面上的投影也为线段.
1 z 2 x 0
3 | y | 2
例5 求椭圆抛物面2 y 2 x 2 z 与抛物柱面 2 2 x z 的交线关于 xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程. 解 交线方程为
2 y x z , 2 2 x z
2 2
消去z 得投影柱面
选择题
球面 x y z R 与 x z a 交线
2 2 2 2
在xOy面上投影曲线方程是( D )．
( A) (a z)2 y 2 z 2 R2
(a z )2 y 2 z 2 R 2 ( B) z 0
(C ) x 2 y 2 (a x)2 R2
t
x
M
O

x a cos t y a sin t z vt
a
y
螺旋线的 参数方程.
A

M
z
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin z b
v t , b
Байду номын сангаас
P

螺旋线的重要性质：
t
第六节
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
z
S2 S 1
O
空间曲线的一般方程 特点： 曲线上的点都满足方程, 同时满足两个方程.
C
x
y
满足方程的点都在曲线上, 不在曲线上的点不能
x2 y2 1 例1 方程组 2 x 3 z 6
x 2 y 2 1,
x2 y2 1 . z 0
在 xoy面上的投影为
2 2 设一个立体 , 由上半球面 z 4 x y 例6
和锥面z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
2 2 z 4 x y , C : 2 2 z 3 ( x y ),
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于xOy的 投影柱面. 投影柱面的特征： 此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、 母线垂直于所投影的坐标面.
C
空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影)
(即为投影柱面与xOy 面的交线)
H ( x , y ) 0 (即为曲线关于xOy面的投影柱面) (即为xOy 面) z 0
解
2 2
表示怎样的曲线？
x y 1 表示圆柱面，
2 x 3z 6 表示平面，
z
x y 1 2 x 3 z 6
2 2
C
2
交 线 为 椭 圆
y
O
1
x
z a2 x2 y2 2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a a x y 2 2 4
消去 z 得投影柱面 x y 1,
2 2
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z 0.
是一个圆,
2 2 x y 1. 所求立体在 xoy 面上的投影为
填空题
2 x 2 y 2 z 2 16 母线平行于x 轴且通过曲线 2 2 2 x y z 0 2 2 3 y z 16 的柱面方程是
x
M
O

上升的高度与转过的角度成正比.即
A

M
y
: 0 0
z : b 0 b 0 b
螺距
2 ,
上升的高度 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
x 2 y 2 (a x ) 2 R 2 ( D) z 0
( x1 , y1 , z1 ), 随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以 角速度ω绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升 (其中 , v都是常数), 那末点M 构 成的图形称为螺旋线. 试建立其参数方程.
解
z
取时间t为参数, 动点从A点出发, 经过t时间, 运动到M点. M在xOy面的投影 M ( x , y ,0)
解
z a2 x2 y2
上半球面（如图）
2 a a 2 x y 2 4 2
z
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
O
y
二、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定t t1时, 就得到曲线上的一个点