其中 S 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方
z
体的整个表面的外侧.
解: 利用(轮换)对称性.
y
原式 3S (z x)d xd y
x
S 的顶部
S1
:
z
a 2
(x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
S 的底部
S2
:
z
Байду номын сангаас
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
S2 (z x)d xd y
( a x)d x dy Dxy 2
定义:
n
•
S
f (x, y, z)d S
lim
0 i1
f (i , i , i
) Si
• S P d y d z Q d z d x R d x d y
n
lim
0
P(i
i 1
, i
,
i
) Si
y
z
Q(i , i , i ) Si z x
R(i , i , i ) Si x y
n
lim
0
i 1
P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )zx
R(i ,i , i )(Si )xy
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
n
lim 0 i1
S Pcos Qcos Rcos d S
数学分析
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19
S Pdydz Qdzdx Rdxdy
分析: 若 S 是面积为S 的平面,
n
v
法向量:
流速为常向量: 则流量
S
数学分析
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5
对一般的有向曲面S , 对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
ni vi
n
进行分析可得
E lim 0 i1
vi
ni Si
S
设 ni (cosi , cos i , cos i ), 则
第2节
第二型曲面积分
一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系
第22章
一、曲面的侧
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
数学分析
曲面分上侧和 下侧
曲面分左侧和 右侧
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2
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
数学分析
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n
E
lim
0
i 1
P(i
,i
,
i
)
cosi Q(i ,i , i R(i ,i , i )
) cos
cos
i
i Si
n
lim 0 i1
数学分析
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6
2. 定义. 设 S 为光滑的有向曲面, 在 S 上定义了一个
向量场 A (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), 若对S的任
Dxy R(x, y, z(x,y)) d x d y
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10
说明: 如果积分曲面 S 取下侧, 则
S R(x, y, z)d x d y Dxy R(x, y, z(x, y))d x d y
•若
则有
S P(x, y, z)d ydz
Dyz
P(x(
y,
z)
,
y, z) d y d z
S
Dxy
（上侧取“+”, 下侧取“”)
类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .
数学分析
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28
思考与练习
1. 设
是平面
在第四卦限部分的上侧 , 计算
I S f (x, y, z) x dy dz
f (x, y, z) z dx dy
提示: 求出 S 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分
若记 S 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y) A (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
数学分析
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20
例5. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为
求E 通过球面 S : r = R 外侧的电通量 .
解: S E d S
S E nd S
S
q r3
r
rdS r
S
q r2
d
S
q R2
S
dS
q。
数学分析
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21
例6. 设 夹成的锐角, 计算
解: I S z2 cos d S
3
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
• 设 S 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S )xy ,
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13
例2.计算I xd ydz ydzdx zdxd y,
z 1 (x2 y2 ), z 0 的上侧.
其中 :
z
解：
zdxd y
1 (x2 y2) dxd y
Dx y
2
d
1
(1
r
2
)
r
d
r
0
0
2
数学分析
oy x
: z 1 (x2 y2 ) 上侧
的面积为
则规定:
(S)xy
( )xy , ( )xy ,
0,
当cos 0时 当cos 0时 当cos 0时
类似可规定:
(S) yz , (S)zx
数学分析
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4
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 S 的流量E .
解: 利用两类曲面积分的联系, 有
S (z2 x)d y d z
S (z2 x) cos dS
S (z2 x)
cos d xd y cos
cos cos
oy x x 1 x2 y2 1 1 x2 y2
∴ 原式 = S ( z2 x) (x) z d x d y
数学分析
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7
S P d y d z 称为P 在有向曲面S上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面S上对 z, x 的曲面积分;
S Rd xd y 称为R 在有向曲面S上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 S 的流体的流量为
E S Pdy d z Qd z d x Rdx dy
取上侧,
S R(x, y, z)d xd y
R(x, y, z(x, y)) d x d y
Dxy n
证:
S R(x, y, z)d x d y
lim 0 i1
∵S 取上侧, (Si )xy ( i )xy
i z(i , i )
n
lim
0
i 1
R(i ,i ,
) ( i )xy
数学分析
第二类： 有向投影
(4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面
注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.
数学分析
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27
当
时，
f (x, y, z)d S
f (x, y, z(x, y))
1
zx2
z
2 y
d
x
d
y
S
Dxy
R(x, y, z)d x d y R(x, y, z(x, y)) d xd y
S Pcos Qcos Rcos d S
令 A (P, Q, R), n (cos , cos , cos )
dS n dS (dydz, dzdx, dxdy)
向量形式 S A d S S A nd S
An A n ( A 在 n 上的投影)
S An dS
数学分析
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xy ( 1 x2 y2 )d x d y Dx y
xy 1 x2 y2 d x d y
Dx y
z
2 xy 1 x2 y2 d x d y Dx y
S2
2 r 2 sin cos
Dxy
2 sin 2 d
1r3
1 r2 rd rd
1r2 dr
x
o
Dx y
1
S1
y
0
0
2 15
数学分析
1
2 dy
1 y2
1 y2 zdz
1
0
3
8
1
(1
y2
)
2
d
y
30
数学分析
2
1 y 1
Dyz
:
0
z
1
y
2
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