The "magnitude," | ~ |, of a complex number is: z
~ z
~ = ( ~ ~ ∗ )1 / 2 A= z zz
ψ ( z, t ) T=1/ν = 2π/ω π = ψ (z ± λ , t ) ω = 2πν π = ψ ( z, t ± T )
波的传播速度， 波的传播速度，相速度 The Phase Velocity
How fast is the wave traveling? The phase velocity is the wavelength / period:
Ψ(z, t) = A cos(ϕ ) , where ϕ = ω t –k z+ ϕ0
Generally, ϕ = ϕ(x, y, z; t) and is not a constant !
绝对相位 Absolute phase:
初始相位
ϕ0 = Absolute phase
(or initial phase)
拉普拉斯算子: 拉普拉斯算子
r r r 简谐波解: 简谐波解 ψ ( r , t ) = A cos[(ωt − k ⋅ r ) + ϕ 0 ]
r r r r 空间位置矢量: r = xi + yj + zκ ≡ ( x , y , z ) 空间位置矢量 r 2π r 波矢量或传播矢量： 波矢量或传播矢量： k = k0 ≡ (k x , k y , k z ) λ
f(x) f(x-2) f(x-1) f(x-3)
0
1
2
3
x
例子: 例子 在t=0时刻的一 时刻的一 个脉冲形貌
x + 1)
2
ψ ( x, t ) = 3 /[10( x − υt ) + 1]
2
So f(x - v t) represents a rightward, or forward, propagating wave. Similarly, f(x + v t) represents a leftward, or backward, propagating wave. v will be the velocity of the wave. 一维波函数: 一维波函数 特征: 特征 1. 波形 波形:
ϕ
π
t = 0,z = 0
z
Spatial quantities:
ψ ( z , t ) = A cos[(ωt − kz ) + ϕ 0 ]
ψ
z
空间周期性
λ : 波长 空间周期 the wavelength 波长(空间周期 空间周期) 1/ λ : 波数 空间频率 the wave number 波数(空间频率 空间频率) κ :空间圆频率 the k-vector
∂ψ 1 ∂ψ − 2 2 =0 2 υ ∂t ∂z
2 2
如果一个函数是该方程的解, 如果一个函数是该方程的解 则该函数一定表示一 种波动, 且一定是组合变量 组合变量(z 的函数. 种波动 且一定是组合变量 ± υt)的函数 的函数
波动微分方程推广到三维空间
1 ∂ 2ψ ( x , y , z; t ) 2 ∇ ψ ( x , y , z; t ) − 2 =0 2 υ ∂t
~ = A e − i ϕ = A e x p(i ϕ ) z
where
A = Amplitude ϕ = Phase
复数定理 Complex number theorems 有用的表示: 有用的表示
~ = Re( ~ ) + i Im( ~ ) z z z
| ~ |2 = ~ ~ * = Re{ ~ }2 + Im{ ~ }2 z z z z z
简谐波的表达式 Harmonic wave
沿负x轴方向传 沿负 轴方向传 播的波动
轴传播， 设简谐波沿 z 轴传播，波形是正弦或余弦函数
ψ ( z , t ) = A cos[(ωt − kz ) + ϕ 0 ]
振幅 Amplitude: A = Amplitude
波的相位 The Phase of a Wave: The phase is everything inside the cosine.
ψ = f ( x, t )
ψ ( x , t ) t = 0 = f ( x ,0 ) = f ( x )
2. 在传播过程中波形保持不变 以速度 沿着 轴的 在传播过程中波形保持不变, 以速度v沿着 沿着x轴的 正方向前进的波: 正方向前进的波
ψ ( x , t ) = f ( x − υt )
ψ ( x , t ) = f ( x + υt ), υ > 0
1
t z − ψψ z ,zt,)t = =AA cos ωtπ−( kz ) + ϕ)0+ ϕ 0 ] ( ( ) cos[([ 2 ] T λ
简谐波: 又称为单色波 对于某个固定的空间点处, 单色波, 简谐波 又称为单色波 对于某个固定的空间点处 上是无限延伸的; 振动在时间坐标轴t上是无限延伸的 振动在时间坐标轴 上是无限延伸的 对于某个固定 上也是无限延伸的;只 振动在空间坐标轴z上也是无限延伸的 的时刻 , 振动在空间坐标轴 上也是无限延伸的 只 有一个频率. 有一个频率 注意： 波动的频率或时间周期仅仅与振源有关， 频率或时间周期仅仅与振源有关 注意：①波动的频率或时间周期仅仅与振源有关， 波长即空间周期不仅与振源的振动频率有 而波长即空间周期不仅与振源的振动频率有 而且与介质有关。 关，而且与介质有关。 ②波动的传播速度有相速度和群速度之分。 波动的传播速度有相速度和群速度之分。 相速度 之分 一维波动微分方程 对于波函数ψ 对于波函数ψ(z, t):
What is a wave?
A wave is anything that moves.
一维波动的产生
To displace any function f(x) to the right, just change its argument from x to x-a, where a is a positive number. If we let a = v t, where v is positive and t is time, then the displacement will increase with time.
例题： 例题：设有两个一维简谐平面波的波函数为 E1 (z,t ) = 4cos2π (3t − 0.2 z ) 和
1 E 2 (z , t ) = cos(3.5t + 7 z ) 2 .5
，
式中位移以cm为单位，时间以s为单位，距离以m为 式中位移以 为单位，时间以 为单位，距离以 为 为单位 为单位 单位， 为空间中任意点的坐标。试分别求它们的： 单位，z为空间中任意点的坐标。试分别求它们的： (1)振幅，(2)频率，(3)周期，(4)波长，(5)相速度，(6) 振幅， 频率 频率， 周期 周期， 波长 波长， 相速度 相速度， 振幅 传播方向。 传播方向。 解：
~ z
= A cos (ϕ ) + iA s in(ϕ )
where i =
−1
ϕ
ϕ
复数共轭: 复数共轭
~ ∗ = ( x + iy )∗ = ( x − iy ) z
z Where ~ * is the complex conjugate of ~ . ( i → –i ) z ∗
~ = A cos ϕ − iA sin ϕ z
A1 = 1 cm , .4cmλ, = 1 v 5= 3.5 = 7 ( Hz ) , =2 m , A2 = 4 = 0 1 0.2 2.( Hz) , 5 2π 4π v1 = 3 λ2 4π 1 2π = T2 = T =s , s ,λ 2 = υ m ,λ1 =υ 2 m / s = 0.5m / s 15 T2 1 7 3 71 = T
ϕ = ωt − kz + ϕ 0
ωt − kz + ϕ 0 = 常数
ωdt − kdz = 0
dz ω υ= = dt k
此振动状态沿z轴 此振动状态沿 轴 传播的速度: 传播的速度
Human wave
A typical human wave has a phase velocity of about 20 seats per second.
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
r r k ⋅ r ≡ kx x + k y y + kz z
纵波与横波 (1) 纵波 振动方向与传播方向相同，并且振动状态 纵波: 振动方向与传播方向相同， 相对于传播方向具有轴对称性。 相对于传播方向具有轴对称性。 (2) 横波 振动方向与传播方向正交，并且振动状态 横波: 振动方向与传播方向正交， 相对于传播方向不具有轴对称性。 相对于传播方向不具有轴对称性。 (3) 偏振 振动状态相对于传播方向的不对称现象。 偏振: 振动状态相对于传播方向的不对称现象。
υ = λ /T
时空二者的联系
z
λ = υT
In terms of the k-vector, k = 2π / λ , and π the angular frequency, ω = 2π / T, this is: π
υ =ω/k
In terms of the phase, 相位恒定的状 态或条件: 态或条件 两边取全微分: 两边取全微分
第一章 光的干涉
( Optical interference )
1.1 波动的独立性、叠加性和相干性 波动的独立性、
1.1.1 电磁波 Electromagnetic waves 一. 波动与波动方程 Waves and wave equation 波动：振动(扰动 扰动)状态在空间的传播 波动的实质 波动：振动 扰动 状态在空间的传播 波动的实质： 能量 以振动的方式在空间传播 ， 以振动的方式在空间传播， 波动的实质 ： 能量以振动的方式在空间传播 使 空间各点的物理状态呈现空间和时间上的周 期性分布，但物质本身并不随波移动。 期性分布，但物质本身并不随波移动。 结论：具有时空双重周期性运动形式和能量的传 结论：具有时空双重周期性运动形式和能量的传 时空双重周期性运动形式和能量 是一切波动的基本特性。 输，是一切波动的基本特性。不具备这种特性的 事物，不能成为严格意义下的波动。 事物，不能成为严格意义下的波动。 波源, 波源 波场