（1）l , m l m
对
（2） n, m , l m, l n, 错 l （3）l , m l//m （4）l //m , l m
对 对
3种问题
垂直问题
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直
成角问题
正方体棱长为2，求二面角A-B’C-B的正切
解：取B’C的中点O，连AO，BO,
∵AB’=AC,所以AO⊥B’C,
AB tanAOB= = 2 BO 又因为是正方体，所以BO⊥B’C；
故∠AOB为所求二面角的平面角
3种问题
成角问题
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角
3种问题
平行问题
6、点A是平面外的一点，过A和 平面平行的直线有无数 条。
3种问题
线 线 垂 直
垂直问题
判定1 性质1
线 面 垂 直
判定2
性质2
面 面 垂 直
判定1：如果一条直线与平面内的2条相交直线垂直， 则这条直线和这个平面垂直 判定2：如果一个平面内经过另一个平面的垂线，则 这2个平面垂直
斜线与平面所成角 00 ,900
0 0
3种问题
判断
成角问题
①两平行线和同一平面所成的角相等 ②两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平 行直线 ③一条直线和两个平行平面所成的角相等√×√ Nhomakorabea 3种问题
成角问题 （1）A1B与平面ABCD所成的角 ∠A1BA=45°
在正方体中，求
E
（2）A1B与平面BDD1B1所成的角 ∠A1EB=30°
3种问题
练习
平行问题
1.平行于同一平面的二直线的位置关系是( （A） 一定平行 （B） 平行或相交 （C） 相交 2 判断： （D） 平行，相交，异面
）
D
直线a∥平面α，则直线a平行于α内的任意直线
错
3种问题
平行问题
3、直线a//平面，那么直线a与平面内直线b的位 置关系是： （A） 平行
（B） 相交
共面直线
异面直线
没有公共 点 异面直线 不同在任何
一个平面内
3种关系 2个平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交 定义 没有公共点 有一条公共直线 公共点个数 0个 无数
3种关系
直 线 和 平 面 的 位 置 关 系
练习 1、直线在平面α外，则二者的公共点个数是（ C ）
A.一个
B.至少一个
3种问题
线 线 垂 直
垂直问题
判定1 性质1
线 面 垂 直
判定2
性质2
面 面 垂 直
性质1：如果两条直线都与一个平面垂直，则这两条 直线平行 性质2：如果两个平面垂直，则在一个平面内与交线 垂直的直线垂直于另一个平面
3种问题
垂直问题
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则直线与平面垂直。 L n, m , m与n相交， l l m, l n,
C.至多一个
D.无数个
2、两条直线没有公共点，则它们的关系是（ ） 平行或异面
3种问题
线 线 平 行
平行问题 判定1
线 面 平 行
判定2
性质1
面 面 平 行
性质2
判定1： 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平 行，则这条直线和这个平面平行。 判定2：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平 面平行，则这2个平面平行
性质定理 1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线 2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行
3种问题
垂直问题 1、勾股定理 2、等腰（边）三角形底边 上的中线与底边垂直 3、正（长）方形的特点 4、直径对的圆周角为90度 两条平行线中的一条与 某直线，则另一条也垂 直于该直线 直线a与平面α垂直，则a 垂直于α内的任意直线）
成角问题
二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为O端点, 在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线OA,OB, 这两条射线所成 的∠AOB叫做二面角的平面角,求二面角即求其平面角
B
C
α
二面角的范围是[0,π]
平面角的特征 （1）顶点在棱上； （2）两条边分别在2个平 面内，且均垂直于棱；
O
D
A
β
3种问题
3种问题
成角问题 正三棱柱，AC=1,A’A=2,求A’C与平 面ABB’A’成的角的正弦 解：取A’B’的中点为D,则C’D垂直 于平面ABB’A’,角C’AD为所求的角
F
3 C'D 15 2 sinC'AD= AC' 10 5
G
E
3种问题
3、二面角
成角问题
3种问题
成角问题
3种问题
A
O
B
3种问题
垂直问题 四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是 SA的中点， 求证：平面EBD⊥平面ABCD.
证明：连接AC，BD，交点为F， 连接EF，EF是△SAC的中位线， ∴ EF//SC. 直线EF⊥平面ABCD 直线EF在平面EBD内 E D 故平面EBD⊥平面ABCD
β
A D
B
AB β AB
αβ
线⊥面得到面⊥面
C
α
3种问题
典型例题
垂直问题 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求证： 平面ACC1 A1 平面A1BD
C1 B1
D1 A1 D
证明：因为是正方体，所以 AC⊥BD，
C
又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD，
因为AC∩BD=O, 所以BD⊥平面ACC1A1 故命题得证
（C） 平行或相交 （D） 平行或异面
4种问题
平行问题 A
4、空间四边形ABCD中E，F，G， H分别是各边中点。则图中与面 EFGH平行的边有 （ B ）条。 （A）1 （B）2 （C）0 （D）4 B
E
H D
F C G
4种问题
平行问题
5、平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ D ）
（A） 一定平行 （B） 平行或相交 （C） 相交 （D） 平行，相交，异面
3种问题
线 线 平 行
平行问题 判定1
线 面 平 行
判定2
性质1
面 面 平 行
性质2
性质1： 如果直线a与平面α平行，若经过a的平面β与α 的交线为b，则a∥b 性质2：如果2个平面平行，则它们被第三个平面所截 得的两条交线平行
3种问题
平行问题
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和 这个平面平行。
a α b
a
a // b b a // a
注意3个条件要写全
线∥线的证明是关键！
3种问题
平行问题
如何证明两条直线平行？
(1)利用三角形的中位线; (3)平行的传递性 (2)利用平行四边形；
平行的传递性：
a∥ b， a∥ c，则b∥ c
3种问题
平行问题
如何证明一个四边形是平行四边形？
3种问题
成角问题
2、四棱柱
ABCD A1 B1C1 D1中
AA1 2, AB BC 1
求异面直线A1B与AD1所成的角的余弦
4 5
3种问题
成角问题
正方体中，E,M为所在棱中点，求AE与BM所成角的余弦
A1F=A1E= 5a，EF= 2a， ( 5a) 2 +( 5a) 2 -( 2a) 2 4 由余弦定理cosEAF= = 5 2 5a 5a
平面几何的方法 线 线 垂 直 立体几何的方法
3种问题
典型例题
垂直问题
在正方体AC1中，O为下底面的中心，
求证：AC⊥面D1B1BD 证明：
∵ABCD为正方形，所以ACBD,
又因为在正方体中，BB1⊥平面 ABCD，所以AC BB1, 又BD∩BB1=B,
故AC⊥面D1B1BD
3种问题
判断
垂直问题
3种问题
成角问题
（2）线面角---直线和平面所成的角
l 直线L是的斜线时, 作AB⊥α于B，
直线L与平面α的交点是O
∠AOB（锐角）即为 l 与所成的角
A
l

O
B
3种问题
成角问题
0
l 或l // 时, l与a 所成角为0 0 l 时, l与a 所成角为90
注意:
直线与平面所成角 0 ,90
3、计算出此角的大小(往往要用锐角的
三角函数或余弦定理）
一“作”二“证”三“计算”
A F B C S
3种问题
成角问题
（1）两条异面直线成的角 将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于 90°的角即为二者所成的角 a b
（1）作，作出所求的角；
（2）证明该角是所求；
（3）在三角形中计算该角 的大小或用余弦定理计算余 弦；
若异面直线a，b成的角为直角，则称a垂直b，记 为 a⊥ b
3种问题
成角问题
例 正方形ABCD－A1B1C1D1．求： （1）A1B与CC1所成的角是多少度？ BB1∥CC1,所以∠A1BB1为所求， 大小为45° （2）A1B1与CC1所成的角是多少度？ BB1∥CC1,所以∠A1B1B为所求， 大小为90° （3）A1B与B1C所成的角是多少度？ A1B∥D1C,所以∠D1CB1为所求，易 知△D1B1C为正三角形，故所求角大 小为60°
在求解异面直线所成的角时有时需要用到 余弦定理 △ABC中，