第八章 常微分方程数值解法
考核知识点：
欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法，单步法的收敛性与稳定性。

考核要求：
1． 解欧拉法，改进欧拉法的基本思想；熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法、求微 分方程近似解的方法。

2． 了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的方 法。

3． 了解单步法的收敛性、稳定性与绝对稳定性。

例1 用欧拉法，预估——校正法求一阶微分方程初值问题
⎩
⎨⎧=-='1)0(y y x y ，在0=x （0，1）0.2近似解 解 （1）用1.0=h 欧拉法计算公式
n n n n n n x y y x y y 1.09.0)(1.01+=-+=+，1.0=n
计算得 9.01=y 82.01.01.09.09.02=⨯+⨯=y
（2）用预估——校正法计算公式
1,0)(05.01.09.0)0(111)0(1=⎩⎨⎧-+-+=+=++++n y x y x y y x y y n n n n n n n n n
计算得
91.01=y ，83805.02=y
例2 已知一阶初值问题
⎩⎨⎧=-='1
)0(5y y y 求使欧拉法绝对稳定的步长n 值。

解 由欧拉法公式
n n n n y h y h y y )51(51-=-=+
n n y h y ~)51(~1-=+
相减得01)51()51(e h e h e n n n -==-=-Λ
当 151≤-h 时，4.00≤<h 时，有0e e n ≤ 欧拉法绝对稳定。

例3 欧拉法的局部截断误差的阶为 。

改进欧拉法的局部截断误差的阶为 。

三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。

四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。