复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§1 孤立奇点孤立奇点类型得判别法 1、洛朗展开法f(z)在点a 处得洛朗展式中, 若无负幂项,则点a 为可去奇点;若负幂项最高次数为m,则点a 为m 阶极点; 若负幂项为无穷多个,则点a 为本性奇点。

2、极限法存在且有限,则点a 为可去奇点;等于无穷,则 a 为极点(无法判断阶数); 不存在且不等于无穷,则a 为本性奇点。

3、判断极点得方法3、1,g(z)在点a 解析且g(a)不等于零; 3、21()()lim ()lim()()()m m z a z a f z g z g z z a f z z a →→==--，存在且有限; 3、3 h(z)在点a 解析且h(a)不等于零一、选择题1.函数在内奇点得个数为 [ D ] (A) (B) (C) (D)cot cos 3(23)sin 0,()23(23)sin 2z z z z z k k z z z ππππ=-=⇒=∈--Z ，2.设与分别以为可去奇点与级极点,则为得 [ C ](A)可去奇点 (B)本性奇点 (C)级极点 (D)小于级得极点 (对f(z)与g(z)分别进行洛朗展开并求与)3.为函数得级极点,那么 [ C ] (A) (B) (C) (D)224224553201112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →⎛⎫++ ⎪--⋅=⋅=⋅++ ⎪⎪ ⎪++= ⎪⎝⎭L L L 利用方法， 4.就是函数得 [ B ] (A)可去奇点 (B)一级极点 (C)二级极点 (D)本性奇点322232321=32=0z z z z z z ζζζζ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭以为一阶极点5.就是函数得 [ D ] (A)可去奇点 (B)一级极点 (C)一级零点 (D)本性奇点 (将函数在z=1洛朗展开,含无穷多个负幂项) 二、填空题1.设为函数得级零点,那么 9 。

()()35339156333391sin ()()3!5!3!5!3!5!z z z z z z z z zz -=--++=-+=-+L L L2.设为函数得级极点,那么 2 。

三、解答题1.下列函数在有限点处有些什么奇点？如果就是极点,指出它得级: (1)32211=1, 1.1(1)(1)11.z z z z z z z z z ==---+-+==-解：显然，的奇点有其中是其二阶极点；是其一阶极点 (2)(3)33523332sin 10.1sin 11113!5!3!5!0.sin 1010.z z zz z z z z z z z z z z z z -=-+-+--==-+-+-=-=-=LL 解法一：可能的奇点为故有为其三阶极点解法二：由在点解析且等于，从而为原函数的三阶极点(4)(为正整数)2.判断点就是下列函数得什么奇点？ (1)(2)00.1.z z z ζ⎛<<∞=⎫ ⎪⎪= ⎪⎝⎭注在本题中，由于级数的收敛域是，从而可以直接让函数在点展开但在上一道题中，必须先做变量替换，才可进行展开3.就是函数得几级极点？()3579357959()sin sh 2=sin 2223!5!7!9!3!5!7!9!225!9!z ze ef z z z z z zz z z z z z z z z z z z z --=+-+-⎛⎫⎛⎫=-+-+-++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++L LL 解法一：(4)(4)(5)()sin sh 2=sin 22(0)0;'()cos 2'(0)1120;2''()sin ''(0)0;2'''()cos ,'''(0)110;2()sin (0)0;2()cos 2z zz zz zz zz z z z e e f z z z z z zf e e f z z f e e f z z f e e f z z f e e f z z f e e f z z -------=+-+-=+=+-=+-=-=-+=+=-+=-+=-=+=+=+解法二：考虑函数，，，()(5)2(0) 2.0sin sh 2sin sh 2f z z z z z z z ==+-+-，从而为的五阶零点，为的十阶零点，因为是原函数的十阶极点.复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§2 留数一、选择题:1.设在内解析,为正整数,那么 [ ] (A) (B) (C ) (D)2.在下列函数中,得就是 [ ] (A) (B) (C) (D )()000111'11.lim 1lim 1lim 101111'z z z z z z z z z z z e z z e e e e →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. [ ](A) (B ) (C) (D)12223223111()(1)2!()3!()111[12()()](1)2()6()11566z i z e z i i z i z i z i i z i z i z i z i z i i z i-⎛⎫=-+++++ ⎪---⎪ ⎪=-+-+-++++ ⎪---⎪ ⎪=-+⎪-⎝⎭L L 项系数为：-1+i+ 二、填空题:1.设,则 0 。

2.设为得级零点,那么 m 。

3.设,则 -1/24 。

三、解答题:1.求下列各函数在各个有限奇点处得留数: (1)423342326343423323443682334()().14()3(1)()()()43(1)()()12()12()12()12(1)()()()1224()()f z z i f z z dd z z i z z i z i dz dz z i d z z dz z i z i z z i z z i z z i z z i z i z i z z z i z i =±+⎡⎤+-+++=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤+=-⎢⎥++⎣⎦+-++-++=-++=-+++具有两个奇点，它们分别是的三阶极点45''4234334512(1)()111122412(1)3lim 2()28163283Res[(),]8z i z z i z i i i i z i ii i if z i →++⎛⎫⎡⎤++=⋅-+=- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=-！ (2)2.求得值,如果(1) (2)4224421111()111(1)(14)(1)(4)110Res [(),]Res [(),0]0z f z z z z z z z zz f z f z z⋅=⋅=+-+-=∞=-⋅=在点处解析，故 (3) (4) 法一:法二:2332()332Res [(),3]lim 1;32Res [(),3]lim 1,3Res [(),]Res [(),3]Res [(),3] 2.z i z i zf z z z i z zf z i z i zf z i z if z f z i f z i →→==±+==+-==-∞=---=-在平面上只有两个奇点，它们是一阶极点，从而法三:22222202121112()01(31)3112Res [(),0]=lim 23111Res [(),]Res [(),0] 2.z z f z z z z z z zf z zz f z f z z→⋅⋅=⋅==++⋅=+∞=-⋅=-以为一节极点，从而由3.计算下列各积分(利用留数,圆周均取正向) (1) (2)3133||21cos 1cos 12Res[,0]22.2z z z dz i ic i i z z ππππ-=--===⋅=⎰Ñ 复变函数练习题 第五章 留数系 专业 班 姓名 学号§3 留数在定积分计算上得应用一、选择题1.设为正整数,则 [ ] (A )0 (B) (C) (D)||21(1)0011112Res[(),]1111111111=0111n n z n n n n nk n k k k n z dz i f z z z z c z z z z z z π=∞∞-+==⎛⎫ ⎪=<=-∞ ⎪-- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⋅=== ⎪-- ⎪⎝⎭⎰∑∑Ñ的所有奇点满足，从而在无穷远点可展成： 对应的2.积分 [ ] (A)0 (B ) (C) (D)二、填空题1.积分 -2i 。

3||200111()01sin 12(Res[(),0]Res[(),1]Res[(),1])sin 11Res[(),0]lim lim sin sin 111Res[(),1]lim lim sin sin (1)Res[(z z z z z z k k z z dz i f z f z f z z z z f z z z z z f z z z f z πππππππππππ=→→→→=∈=±=++-==⋅=--===---⎰ÑZ 的所有奇点有：，落在积分曲线内的点有：，从而111),1]lim sin (1)z z z ππ→-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+ ⎪-==- ⎪-+⎝⎭2.设,则在复平面上所有有限奇点处留数之与为 0 。

1324816222828121111111()(1)(1)11(1)(1)(1)(1)11Res[(),]Res[(),0]0z f z z z z z z zz z z z z z f z f c z z-⎛⎫ ⎪⋅=⋅=⋅=+++-+- ⎪-+ ⎪-+⎪ ⎪=-∞=-⋅=-= ⎪⎝⎭∑L L三、解答题1.求函数在得留数。

21111()11Res[(),1]lim 12Res[(),1]lim 12Res[(),]{Res[(),1]Res[(),1]}2zz z z z e f z z z z e ef z z e ef z z e e f z f z f z →-→--==±-==+-==---∞=-+-=-在平面上具有两个奇点，它们都是一阶极点.；；从而， 2.计算积分(为一正整数),2222221121.12Res[(),].11111(1)1111110.21011nn nn n C nn n n nn n n nnnnC z z z C zz dz i f z z z z z z z z z z z z z n c n c i n z dz n z ππ--=+=-∞+=∞+=⋅=+++++==≠==⎧=⎨≠+⎩⎰⎰L ÑÑ在平面上的奇点为方程的根，则全落于积分曲线内部从而在处可展为：当时，；当时，，从而， 3.计算下列积分:(1)2101111253sin 3()(3)5332z z dz dzd i z z iz z z i iπθθ-===⋅=-++++⋅⎰⎰⎰ 被积函数在|z|=1内只有一个奇点,且为一阶极点、 从而(2)222222222221100114212cos 22211sin 1cos 22254cos 2(54cos )2(54)2(54)222118()(2)2i i z z z e e z z z z z z dz dz d d z z z z iz iz z z dziz z z θθππθθθθθθθ------===++==++---==⋅=⋅+++++⋅+⋅-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰被积函数在|z|=1内具有两个奇点z=0,z=-1/2,它们分别就是二阶极点与一阶极点。