分类号密级UDC学位论文三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线作者姓名：钱金花指导教师：李建华 副教授东北大学理学院数学系申请学位级别：硕士 学科类别：理学学科专业名称：基础数学论文提交日期：2006年11月 论文答辩日期：2006年12月 学位授予日期：答辩委员会主席：评阅人：东北大学2006年12月A Thesis in Pure MathematicsNull Bertrand Curves in 3-DimensionalMinkowski SpaceBy Qian JinhuaSupervisor：Associate Professor Li JianhuaNortheastern UniversityDecember 2006独创性声明本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。

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）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：签字日期：东北大学硕士学位论文 摘 要 三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线摘 要数学是历史十分悠久的一门学科. 几何学作为描述宇宙空间的一门分科，反映了现实世界的不同范围和方面．尤其是非欧几何的诞生构成了数学史上最光辉的篇章．自从爱因斯坦创立了相对论以后，其所用的时空模型——Minkowski空间倍受数学界和物理学界的关注，对它的研究一直没有间断过．本文主要讨论三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线. 在三维Minkowski空间中，由于度量的不同，向量可以分为类空、类时和类光三种类型，因此在研究三维Minkowski空间的曲线论时，标架的选取就有正交标架和伪正交标架两种情况．本文系统而全面地讨论了伪正交标架下Bertrand曲线及其侣线的性质．在第二章介绍Minkowski空间及Bertrand曲线的基础知识．在第三章针对三种标架分别讨论Bertrand 曲线及侣线的曲率、挠率及相互关系，并与欧氏空间中的结论进行对比．例如，在三维欧氏空间中有这样的结论：具有常曲率的曲线是Bertrand曲线．而在本文的第二种标架（α类光，β类空，γ类光）下得到了具有常挠率的曲线是Bertrand曲线的结论．关键词：非欧几何；三维Minkowski空间；Bertrand曲线东北大学硕士学位论文 AbstractNull Bertrand Curves in 3-Dimensional Minkowski SpaceAbstractMathematics is a subject which has a long-standing history. As a science of describing physical space, geometry reflects different aspects and areas. Especially, the appearance of the Non-Euclidean geometry is the most glorious event in the history of mathematics. Since Einstein built the theory of relativity, Minkowski Space, the space-time model he used, is paid more and more attention in mathematics and physics. The research works on it have never been ceased.In this thesis we mainly discuss Bertrand curves in 3-dimensional Minkowski space. In 3-dimensional Minkowski space, the metric is different from Euclidean space, so vectors in this space are divided into three kinds, respectively called space-like, time-like and light-like. So when we study the theory of curves in 3-dimensional Minkowski space, there are two kinds of frames, namely orthogonal frame and pseudo-orthogonal frame. In this thesis we discuss the properties of Bertrand curves and Bertrand partner curves completely and systematically. In Chapter Two, we introduce the basic knowledge about 3-dimensional Minkowski space and Bertrand curves. In Chapter Three, we discuss the curvatures, torsions and their relations of Bertrand curves and their partner curves under three different frames respectively and carry out comparison with Euclidean space. For example, if a curve has a constant curvature in 3-dimensional Euclidean space, then it is a Bertrand curve. In this thesis we get a result that if a curve has a constant torsion, then it is a Bertrand curve under the second frame in 3-dimensional Minkowski space.Key words：Non-Euclidean geometry; 3-dimensional Minkowski space; Bertrand curve目 录声明 (i)摘要 (ii)Abstract (iii)第一章引言 (1)1.1 几何学发展简史 (1)1.2 非欧几何的诞生与发展 (3)1.3 本文的主要内容、研究目的及意义 (5)第二章 预备知识 (7)2.1n维Minkowski空间（伪欧氏空间） (7)2.1.1n维Minkowski空间的定义 (7)2.1.2 n维Minkowski空间中的向量 (7)2.1.3 n维Minkowski空间中的标架 (8)2.2三维Minkowski空间中向量的运算及Frenet标架 (8)2.2.1 三维Minkowski空间中向量的内积和外积 (8)2.2.2 三维Minkowski空间中的曲线 (11)2.2.3三维Minkowski空间中曲线的Frenet公式 (12)2.3 Bertrand曲线 (18)2.3.1Bertrand曲线的定义 (18)2.3.2 曲线为Bertrand曲线的充要条件 (18)2.3.3 Bertrand曲线的性质 (18)2.4 曲率中心轨迹 (19)第三章 三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线 (21)3.1标架（一）下的Bertrand曲线 (21)3.1.1第一种侣线的情况 (21)3.1.2 第二种侣线的情况 (24)3.2 标架（二）下的Bertrand曲线 (24)3.2.1 第一种侣线的情况 (25)3.2.2第二种侣线的情况 (28)3.2.3 第三种侣线的情况 (30)3.3标架（三）下的Bertrand曲线 (33)3.3.1第一种侣线的情况 (33)3.3.2 第二种侣线的情况 (34)第四章 总结 (37)参考文献 (39)致 谢 (41)第一章引言数学是历史非常悠久的一门学科．从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，构成了科学史上最富有魅力的题材． 数学虽有众多的分支，却是有机的统一．几何的，代数的，分析的方法相辅相成，使现代数学成为人类认识世界，改造世界的锐利武器．其中几何学的对象比较直观，比较接近人们的生活经验，所以更能激发开创性思维．数学历史上许多划时代的新思想，如无理数的发现，公理化方法的建立，坐标方法的提出，非欧几何的诞生，空间观念的演变，对整体性质和行为的关注，非线性数学的兴起等等，都首先发生在几何学的沃土上．今天，数学科学发展的大趋势是走向综合．几何学的观点，方法，语言正在大规模地向其他数学分支渗透，而在高新技术的发展过程中，几何学的原理又得到了空前的应用．无论是在计算机图形学，CT扫描或核磁共振成像，视觉信息处理，还是在机器人，虚拟现实，数字仿真技术，都广泛采用了传统的和现代的几何学理论．1.1几何学发展简史几何学是数学中最古老的一门分科．如果从欧几里得的《几何原本》算起，至今已有两千三百多年的历史，而且该学科长盛不衰，其内涵一直在不断地延展之中，以至于现在人们很难确切地回答“什么是几何学?”的问题． 在数学的发展史上，有相当长的一段时间，“几何”曾等同于数学．公元前七世纪之后，希腊几何学迅猛发展，积累了丰富的材料．希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理，并试图将其组成一个严密的知识系统．首先做出这方面尝试的是公元前五世纪的希波克拉底（Hippocrates），其后经过了众多数学家的修改和补充．到了公元前四世纪，希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础．欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集，整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明．他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》．《几何原本》可以说是数学史上的一座理论丰碑．它主要阐述的是关于平面几何，立体几何及算术理论的系统化知识，建立了一个完整的关于几何学的演绎知识体系．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响．自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰．它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本．除了《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比．但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的．它对数学发展的影响超过了任何别的书，以至于人们把“欧几里得”与“几何学”看成了同义词．到了十六世纪，对运动与变化的研究已经变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学即近代数学的诞生．变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明，解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对(),x y之间建立一一对应的关系，并以这种方式将一个代数方程()f x y=与平面上一条曲线对应,0起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果．解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆，但其真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿和费马．十七至十八世纪，由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分及由此引起的分析运动，对数学和整个科学带来了极大的刺激．分析方法的应用，开拓了一个新的数学分支—微分几何．1731年法国数学家克莱洛发表《关于双重曲率曲线的研究》开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步．欧拉是微分几何的重要奠基人．他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线的弧长作为曲线上点的坐标．他还正确的建立了曲面的曲率概念，引进了法曲率，主曲率，并得到了法曲率的欧拉公式．直到十八世纪末，几何领域仍然是欧几里得占主导地位．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧氏几何本身的内容．解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位．然而这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击，数学家们虽然坚信欧氏几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，这就是欧几里得第五公理(在平面上经过直线外一点可作，并且只能作一条直线与已知直线平行，也称平行公理)．平行公理叙述上的复杂，不自然和使用此公理的迟缓引起了人们对它的怀疑．许多数学家想用别的叙述取代它，或者想从其他公理推导它．这种努力在两千年的时间中耗费了很多大数学家的精力，人们开始认识到公理的实质在于符合经验，而不是它的不证自明性．非欧几何的历史就开始于努力消除对平行公理的怀疑．1.2非欧几何的诞生与发展在非欧几何正式建立之前，它的技术性内容已经被大量地推导出来．最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间，像欧氏几何一样正确的新几何学的是高斯．从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年开始意识到平行公理不能从其他的欧几里得公理推导出来，并从1813年起发展了这种平行公理在其中不成立的新几何．他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯．但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著．俄国的罗巴切夫斯基最早，最系统地发表了有关此课题的研究成果，并在1929年正式发表了关于非欧几何的第一篇论文《几何学原理》，因此他发展的几何现今常称作罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何．非欧几何从发现到获得普遍接受，经历了曲折的道路．1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》．这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生．然而，这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对．参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中有著名的数学家、天文学家西蒙诺夫，有后来成为科学院院士的古普费尔以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼．在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家．可是，出乎他们的意料，这位年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫名其妙的话，诸如三角形的内角和小于两直角，而且随着边长增大而无限变小，直至趋于零；锐角一边的垂线可以和另一边不相交，等等．这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离．然而，报告者却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得几何有着同等的存在权利．要达到这一目标，需要确实地建立起非欧几何自身的无矛盾性和现实性．罗巴切夫斯基终其一生努力也没有实现这个目标．然而在他之后，非欧几何的发展正是朝着这样的方向前进的．首先是德国数学家黎曼在1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何，即现在所称的黎曼几何．罗巴切夫斯基几何及欧氏几何都只不过是这种几何的特例．黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家．他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性．十九世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米，德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型．这样一来，就使非欧几何具有了至少与欧氏几何同等的真实性．因为我们可以设想，如果罗氏几何中存在任何矛盾的话，那么这种矛盾必然会在欧氏几何中表现出来，也就是说，只要欧氏几何没有矛盾，那么罗氏几何也不会有矛盾．至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解，非欧几何作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来了．非欧几何的创立不只是解决了两千年来一直悬而未决的平行公理问题，更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的最深刻的革命．首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响．在十九世纪占统治地位的是欧几里得的绝对空间观念，非欧几何的创始人无一例外地都对这种传统观念提出了挑战，从罗巴切夫斯基到黎曼，他们都相信天文测量将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可能只是物理空间的近似写照．他们的预言在二十世纪被爱因斯坦的相对论所证实．正是黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当的数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观测、实验，也证实了宇宙流形的非欧几里得性．其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面，引进了全新的空间观念，在现代物理学中获得了广泛的应用，对于二十世纪初关于空间和时间的物理观念的变革起到了重要的作用．最后，非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中一个重大的变革．它迫使数学家们从根本上改变对数学的本质的理解，改变对数学与物质世界的关系的理解，为以后发展的公理化运动打下了基础．1.3本文的主要内容、研究目的及意义非欧空间与欧氏空间的实质区别在于空间具有不同的度量形式，从而具有不同的弯曲性质．欧式空间是平直的(高斯曲率为零)，而非欧空间是负常弯曲的(高斯曲率是负常数)．非欧几何首次提出了弯曲空间，它为更广泛的黎曼几何的产生建立了前提，而黎曼几何后来又成了爱因斯坦广义相对论的数学工具．爱因斯坦的相对论把新时代的几何推倒了科学的最前沿．四维时空的狭义相对论产生了Minkowski空间几何．Minkowski空间最先是由俄国数学家Minkowski在二十世纪初提出来的．1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论，所用的数学工具是Lorentz 坐标变换．Minkowski考虑到可以用非欧空间的想法来理解Lorentz和爱因斯坦的工作，他认为时间和空间的概念可以被结合在一个四维的时空结构中，这种结构后来被称为“Minkowski World”．作为一种重要的几何空间，相对于我们熟悉的欧氏空间，Minkowski空间是一个全新的领域，因此研究Minkowski空间中的曲线和曲面是有意义的．但由于Minkowski空间中度量的特殊性，一些在欧氏空间看起来很容易，很理所当然的问题，往往在Minkowski空间中变得很复杂．在研究空间曲线的基本理论时，常见的一类问题是关于两条曲线之间可建立某种点对应关系的问题．例如，空间中一条曲线的切线如果是另一条曲线的主法线，则它们就是渐伸线和渐缩线的关系；著名的Mannheim曲线对就是由空间中的一条曲线在对应点上的主法线与另一条曲线的副法线重合而得到的．本文所讨论的曲线也是存在着某种对应关系的曲线对，这种关系是空间中的两条曲线在对应点有共同的主法线．在微分几何的历史上，满足这种对应关系的曲线称为Bertrand曲线．在欧氏空间中对于这种曲线的研究已经取得了一部分理想的结果，包括一条曲线是Bertrand曲线的充要条件，原曲线及其侣线的曲率和挠率之间的关系等等．但是在Minkowski空间中对Bertrand曲线的研究却很少．在Minkowski空间中存在两种常用标架：正交标架和伪正交标架．虽然目前在正交标架下对Bertrand曲线的研究得到了一些结果，但是在伪正交标架下对它的研究却寥寥无几．本文的主要工作是在三维Minkowski空间中讨论伪正交标架下的类光Bertrand曲线问题，针对三种不同的标架，研究曲线的曲率、挠率及它们的相互关系．第二章 预备知识本章主要介绍Minkowski 空间中的基本概念以及欧氏空间中Bertrand 曲线的定义及性质．2.1 n 维Minkowski 空间（伪欧氏空间）2.1.1 n 维Minkowski 空间的定义定义2.1 假设V 是n 维向量空间，且在V 上具有一个对称的双线性函数：,:V V R ⋅⋅×→则可以选取一组标准正交基底{}()1,2,,i e i n =L ，使得11,2,,,011,,.ij i j ij i j m g e e i ji j m n δ==⎧⎪===≠⎨⎪−==+⎩L L 称,为向量空间V 上的内积.设ij g 的值为1的数目为m ，为1−的数目为p ，则m p n +=. 若m 和p 中任意一个为零，则此时的空间为n 维欧氏空间，记为n E ；若m 和p 均不为零，则此时的空间为n 维伪欧氏空间（或Lorentz 空间），记为np E ；特别地，当1p =时，称向量空间V 为n 维Minkowski 空间，记为1n E ；当3,1n p ==时，称向量空间V 为三维Minkowski 空间，记为31E ．2.1.2 n 维Minkowski 空间中的向量定义2.2 设V 是n 维Minkowski 空间，任取向量V α∈，0α≠， 若,0αα>，则称α为类空向量；,0αα=，则称α为类光向量； ,0αα<，则称α为类时向量．我们规定零向量为类空向量．2.1.3 n 维Minkowski 空间中的标架由于Minkowski 空间中向量的特殊性，所以在Minkowski 空间中有两种常用的标架：正交标架和伪正交标架． 定义2.3 正交标架{}i e ：11,2,,1,01.i j ij ij i j n e e g i ji j n δ==−⎧⎪==±=≠⎨⎪−==⎩L伪正交标架{}i e :()12,,1;1,;,1,0,2,,101,.i j ij i j n i j n i n j e e g i j i j n i j n ==−====⎧⎪==≠=−⎨⎪==⎩L L2.2 三维Minkowski 空间中向量的运算及Frenet 标架2.2.1 三维Minkowski 空间中向量的内积和外积任取向量31,E αβ∈，设{}123,,x x x α=，{}123,,y y y β=，其中,i i x y R ∈，(1,2,3i =)．定义2.4 31E 中向量的内积定义如下： 在正交标架{}i e 下，112233,x y x y x y αβαβ==+−；在伪正交标架{}i e 下，132231,x y x y x y αβαβ==++．若向量,αβ的内积为零，则称,αβ正交．性质2.1 31E 中不存在两两正交的类时向量．证明 设{}123,,x x x α=，{}123,,y y y β=，为两个任意的类时向量，则有2221230x x x +−<， 2221230y y y +−<，即 222123x x x +<， 222123y y y +<． 假设向量α与β正交，则有112233,0x y x y x y αβ=+−=．于是 112233x y x y x y +=． 对上式两边平方，得()()()22222221122331212x y x y x y x x y y +=>++，化简，得()212210x y x y −<．由此得出矛盾，所以不存在两两正交的类时向量．定义2.5 31E 中向量的外积定义如下： 在正交标架{}i e 下，233121233121,,x x x x x x y y y y y y αβ⎧⎫⎪⎪×=⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 在伪正交标架{}i e 下，312312312312,,x x x x x x y y y y y y αβ⎧⎫⎪⎪×=⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 若向量,αβ的外积为零向量，则称,αβ平行．性质2.2 若31E 中的一个类空向量和一个类时向量正交，则它们的外积为类空向量．证明 设{}123,,x x x α=为任一类空向量，{}123,,y y y β=为任一类时向量， 则有2221230x x x +−>， 2221230y y y +−<，即 222123x x x +>， 222123y y y +<． 由向量α与β正交，应有112233,0x y x y x y αβ=+−=．于是 112233x y x y x y +=．由外积定义 233121233121,,x x x x x x y y y y y y αβ⎧⎫⎪⎪×=⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 下面计算向量αβ×的内积,αβαβ××()()()222233231132112x y x y x y x y x y x y =−+−−−222222222222233231132112232313131212222.x y x y x y x y x y x y x x y y x x y y x x y y =+++−−−−+由 112233x y x y x y += 整理上式，得()()()222233231132112x y x y x y x y x y x y −+−−−()()222222123321x x x y y y =+−−−．由 222123x x x +>， 222123y y y +<，知 ,0αβαβ××>，可见 αβ× 为一类空向量．性质2.3[]10在三个向量构成的标架中，若有一个是类光向量，则该标架中至少应包含两个类光向量．性质2.4[]1031E 中若两个类光向量正交，则这两个向量必线性相关．注意：无论取正交标架还是伪正交标架，设{}123,,z z z γ=，都有123123123,x x x y y y z z z αβγ×=， 此种运算与欧氏空间相同，称为向量的混合积．这说明 αβ× 与,αβ所生成平面中的任一向量(),λαμβλμ+是任意实数都是正交的，这是外积定义的思想．在文献[10]中有如下三个定理：定理 2.1 设,,αβγ是31E 中的任意三个向量，则有,,,,,,αβγβγαγαββαγγβααγβ×=×=×=−×=−×=−×．定理2.2 设,,αβγ是31E 中的任意三个向量，则有 (),,αβγβγααγβ××=−．定理2.3 设,,,αβγδ是31E 中的任意四个向量，则有 ,,,,,βγβδαβγδαγαδ××=， 特别地，当 ,αγβδ== 时，有 2,,,,αβαβαβααββ××=−．由上面的三个定理可以看出，对于向量的混合积，31E 空间和三维欧氏空间有相同的结论；对于向量的二重外积和Lagrange 恒等式，它们的结论是有很大差别的．2.2.2 三维Minkowski 空间中的曲线定义2.6 设()r r s =是31E 中曲线的参数方程，与欧氏空间类似，设,,αβγ分别为曲线的切向量，主法向量和副法向量． 若曲线()r r s =的切向量α满足：,0αα>，则称()r r s =为类空曲线；,0αα<，则称()r r s =为类时曲线； ,0αα=，则称()r r s =为类光曲线．定义 2.7 设()r r s =是31E 中的类空曲线，,,αβγ分别为曲线的切向量，主法向量和副法向量．若曲线()r r s =的主法向量β满足：,0ββ>，则称()r r s =为第一类类空曲线； ,0ββ<，则称()r r s =为第二类类空曲线； ,0ββ=，则称()r r s =为第三类类空曲线．2.2.3 三维Minkowski 空间中曲线的Frenet 公式设()r r s =是31E 中曲线的参数方程，对于曲线()r r s =，令α表示曲线的切向量()r s &，这样便可以引入曲线的主法向量β和副法向量γ．{},,αβγ构成了31E 中曲线的Frenet 标架．定理2.4 在31E 空间中，当曲线的Frenet 标架含有类光向量时，标架{},,αβγ一定由两个类光向量和一个类空向量组成．即曲线的Frenet 标架只有下面三种情况：（一）α为类光向量，β为类光向量，γ为类空向量； （二）α为类光向量，β为类空向量，γ为类光向量； （三）α为类空向量，β为类光向量，γ为类光向量． 三种标架对应的Frenet 公式分别为：（1）;k k αγβτγγταβ=⎧⎪=⎨⎪=−−⎩&&& （2）;k k αββταγγτβ=⎧⎪=−−⎨⎪=⎩&&& （3）.k k αγτββαγτα=−−⎧⎪=⎨⎪=⎩&&&证明 （1）在标架(一)下，由α是类光向量，则与其正交的向量有两个，一个是类光向量，另一个是类空向量．选取β作为另一个类光向量，则有,,0ααββ==，,1αβ=．令 γαβ=× ，于是 ,,0αγβγ==，,,γγαβαβ=××2,,,αβααββ=−1=．因为γ是类空向量，所以存在函数()(),k s s τ 满足：()k s αγ=&， ()s βτγ=&． 由γαβ=× 有 γαβαβ=×+×&&& k γβατγ=×+×．其中 ()γβαββ×=××,,ββααββ=−β=−，()αγααβ×=××()αβα=−××α=−．所以 k γβτα=−−&．综上，可以得到公式 （1）.k k αγβτγγταβ=⎧⎪=⎨⎪=−−⎩&&& （2） 在标架(二)下，由α是类光向量，则与其正交的向量有两个，一个是类光向量，另一个是类空向量． 选取γ作为另一个类光向量，则有,,0ααγγ==，,1αγ=．令 βαγ=×，于是 ,,0αββγ==，,,ββαγαγ=××2,,,αγααγγ=−1=．因为β是类空向量，所以存在函数()(),k s s τ 满足：()k s αβ=&， ()s γτβ=&． 由βαγ=×, 有 βαγαγ=×+×&&& k βγατβ=×+×．其中 ()βγαγγ×=××,,γγααγγ=−γ=−，()αβααγ×=××()αγα=−××α=−．所以 k βγτα=−−&． 综上，可以得到公式 （2）.k k αββταγγτβ=⎧⎪=−−⎨⎪=⎩&&&（3） 在标架(三)下，由β是类光向量，则与其正交的向量有两个，一个是类光向量，另一个是类空向量． 选取γ作为另一个类光向量，则有,,0ββγγ==，,1βγ=．令 αβγ=×，于是 ,,0αβαγ==，,,ααβγβγ=××2,,,βγββγγ=−1=．因为α是类空向量，所以存在函数()(),k s s τ 满足：()k s βα=&， ()s γτα=&．由αβγ=× 有 αβγβγ=×+×&&& k αγβτα=×+×．其中 ()αγβγγ×=××,,γγββγγ=−γ=−，()βαββγ×=××()βγβ=−××β=−．所以 k αγτβ=−−&． 综上，可以得到公式 （3）.k k αγτββαγτα=−−⎧⎪=⎨⎪=⎩&&&定理2.5 在31E 中不考虑类光向量，且只考虑非直线的情况，曲线的 Frenet 标架{},,αβγ只能由两个类空向量和一个类时向量组成．即曲线的Frenet 标架只有下面三种情况：（四）α为类空向量，β为类空向量，γ为类时向量； （五）α为类空向量，β为类时向量，γ为类空向量； （六）α为类时向量，β为类空向量，γ为类空向量． 三种标架对应的Frenet 公式分别为：（4）;k k αββατγγτβ=⎧⎪=−+⎨⎪=⎩&&& （5）;k k αββατγγτβ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩&&& （6）.k k αββατγγτβ=⎧⎪=+⎨⎪=−⎩&&&证明 （4）在标架(四)下，有,,1ααββ==，,1γγ=−，,,,0αγαββγ===．类似于欧氏空间对主法向量的定义，令αβα=&&，再令k α=&，这里α&表示α的导数的模，则有 k αβ=&．。