有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入
硅片，这里求解的是半无界空间x>0中的定解问题:
uutx
a2uxx |x0 0

0
u |t0 0 (x 0) (x 0)
0是单位面积硅片 表层原有杂质总量.
10
解: 没有杂质穿过硅片表面,即: ux |x0 0 第二类齐次边界条件
积分变换法
积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后， 方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微 方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解， 同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数 法或者傅里叶级数发往往不能。 本章主要介绍傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。
1
傅里叶变换
e dk e e dk 2k2 k
2 4 2

2 (k 2 2 )2


2e e dk 2 4 2

2 (k 2 2 )2
0
2
2e 4 2
e d 2 2
0

2
2 e 4 2
ex2 dx
uut|x0a2uNxx0 0
u |t0 0
12
解 首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令 u(x,t) N0 w(x,t)
则化为关于w的定解问题:
wt w |
a2 x0
wxx u |x

0
0 N0

0
w |t0 u |t0 N0 N0

0

2
2 e 4 2

2
e 4 2

2
7
令 a t , i(x ) 利用上述公式可得


u(x,t) ( )
1
( x )2
e 4a2t d
2a t

例3 求解无限长细杆的有源热传导问题
ut a2uxx f (x, t)( x ) u |t0 0
N0 x/ 2a t ez2 dz
x/2a t
被积函数是偶函数,故
w(x,t) N0
2

x/ 2a t ez2 dz
0
误差函数
记做erfx,则w可写为:
x
w(x,t) N0erf ( 2a
) t
所求的解如下:
14
u( x, t )

N0
w(x,t)

N0 1 erf
引用例2结果可得
u(x,t)

20

( )
1
2a t
e
(
x ) 4a2t
2

d

0 2 ex2 /4a2t
高斯函数
2a t
11
右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中
u( x, t )
硅1
的分布情况,曲线1对应于较早的时刻
片 表
2
2,3依次对应越来越晚的时刻,杂质浓 面
例6 泊松公式 求解三维无界空间中的波动问题
utt u |t

0
a23u 0
(r),Ut
|t
0


(r
)
15
解 做傅里叶变换,问题变换为常微分方程的初始值问题
U k 2a2U 0 U |t0 (k),U |t0 (k)
这个方程的解为
U (t, k) 1 (k)(eikat eikat ) 1 1 (k)(eikat eikat )
13
第一个积分中令 z (x ) / 2a t , dz d / 2a t
第二个积分中令 z ( x) / 2a t , dz d / 2a t
则有 w(x, t) N0 x/2a t ez2 dz N0
ez2 dz

x/2a t
dV


1
4a




(r)
17

1 r

(r

at
)eik
(
r

r
)
dk1dk2
dk3

dV

应用延迟定理
U (r,t)

1
4a
t



(r) (| r r | at)dV
| r r |

1
4a



(r) (| r r | at)dV
| r r |
出现 (| r r | at)
对
r 的积分只要在球面
S
r at
上进行
S
r at
以r为球心(矢径r),半径为at
U (r,t) 1 (r) dS 1 (r) dS
4a t Sart at
4 a Sart at
dS
为球面
S
2
2a ik
对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：
5
u( x, t) 1 [( x at) ( x at)] 1
x at
( )d
达朗贝尔公式
2
2a xat
例2 求解无限长细杆的热传导问题
uut|t0a2ux(xx) 0( x )

[



(
)e
ik
d
]e

k
2
a
2t
e
ik
x
dk
2
6
交换积分次序
u(x,t) 1

( )[
ek 2a2teik (x )dk]d
2

积分公式： e 2k2 ek dk ( / a)e 2 / 4 2
F F （1）导数定理 f t i f t iF()
（2）积分定理
F F
t

f

t
dt



1
i
ft
（3）相似性定理
F f(ax )

1 F( )
aa
2
（4）延迟性定理
F f x x0 eix0F()
连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积
分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。
例1 求解无限长弦的自由振动
utt u |t

0
a2u

xx (x),
0( x )
ut |t0 (x)
解： 应用傅里叶变换，即用 eikx / 2 同乘方程和定解条件
r at
的面积元,此即泊松公式.
18
三维无界空间中的波动,只要知道初始状况,就可以用泊松公式
求以后任一时刻的状况,具体说,为求时刻t在r的u(r,t),应以r为
球心,以at为半径作球面
S
r at
然后拿初始扰动 (r), (r)
按泊松公式在球面
S
r at
上积分
,波动以速度a传播,只有跟点r
相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到r
代入初始条件可得：A(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
B(k) 1 (k) 1 1 (k)
2
2a ik
故 U (t, k) 1 (k)eikat 1 1 (k)eikat
2
2a ik
1 (k )eikat 1 1 (k )eikat
2
2a ik
再进行傅里叶逆变换
U (r, t) [ (k) 1 (eikat eikat )

2

(k)
1 2a
1 ik
(eikat

e ik at
)]eikr dk1dk2dk3
1
4a
Байду номын сангаас(r)[


a
4
2
(eikat

eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2a2U 0
U |t0 (k) 此常微分方程的初始问题的解为 U(t, k) (k)ek2a2t
进行傅里叶逆变换可得：
u(x, t) F 1[U (t, k )] (k )ek2a2teikxdk
1
)
dk

dd
9
并利用积分公式可得最后的结果为：
u(x,t)
t

f
(
,
)
1
e

( x )2 4a2 (t
)

dd
0
2a (t )

例4 限定源扩散
在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可
以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已
16
1
4a

(r)[

1
4 2
1 ik
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
1
4a t
(r)[


1
4 2
1 ik
(eikat
eikat )eik(rr)dk1dk2dk3 ]dV
进行傅里叶逆变换
u(x,t) 1
2
t 0

f
(
,