b A
或 （推论）
C a=?
c
B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边；
2.已知三边，求三个角。
例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人 员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计 算求出山脚的长度BC。
为边做一个三角形的木架，形状如下图所示，则另外还要 找两根多长的木棒？(精确到0.1cm)
C
40cm
30o
A
45o
D
B
1.1.2 余弦定理
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利 用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC。
1:1: 3
变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别 uuur uuur uuur uuur
为a、b、c,若AB AC = BA BC = 1，c = 2.
（1）判断ABC的形状； uuur uuur
（2）若 AB AC 6，求ABC的面积
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
转化：在 △ABC中，Байду номын сангаас
B
AB 8km, AC 3km, A 600,
求a。
C A
例2：在△ABC中，已知 a=2,b= ， 求A。
解：
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知 a=2 ,b= ， 解三角形。
解：由例2可知 A=45°
方法一：
方法二：
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
1.1.1 正弦定理
回顾
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
二、可以用正弦定理解决的三角问题： ①知两角及一边，求其它的边和角
②知三角形任意两边及其中一边的对角，求 其它的边和角
练习：若ΔABC满足下列条件，求角B
（1） b＝20，A＝60°，a＝ 20 3 ; 30o
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
∴ sin A sin B sin C
故由正弦定理可得a≥b≥c
（2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角
∴-∠A<
2
，且-∠A=∠B+∠C>∠B≥∠C
∴ sin( A) sin B sin C
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
即 sin A sin B sin C
∴由正弦定理可得a>b≥c
三、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解 或一解（见图示）
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
B
a=bsinA 一解
思考：小强有一根长为40cm的木棒，若他打算以该木棒
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
向量法：
rC b
A
r c
B
r a
B
四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
（角换边）
例3、在ABC中，若
a2 b2
tan A , 试判断ABC的形状 tan B
解：由正弦定理，得
sin2 sin2
A B
tan tan
A B
sin2 sin2
A B
sin cos
A A
cos sin
B B
Q sin A 0，sin B 0,
sin Acos A sin Bcos B，即sin2A sin2B
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
（2） b＝20，A＝60°，a＝ 10 3 ; 90o
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. 无解 思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值 角B有1解、2解、无解
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 1.若A是锐角 （1）若a < bsinA，则此时无解； （2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角； （3）若bsinA< a <b，则此时有两解，即角B可取钝角，
也可取锐角； （4）若a≥b，则此时只有一解，即角B需取锐角.
C a
b a
A B B B′
B
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 2.若A是钝角或直角 （1）若a > b，则此时只有一解，即角B需取锐角； （2）若a≤b，则此时无解.
C
a b
C a
b
A
B
A
B
讨论已知两边和一边对角的三角形的解：
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
Q 0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
等腰直角三角形
2、已知△ABC中，B=30o，C=120o，则a:b:c=
其中，R是△ABC的外接圆的半径
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，