《现代控制理论及其应用》课程小论文基于Matlab的汽车主动悬架控制器设计与仿真学院：机械工程学院班级：ＸＸＸＸ（XX）姓名：X X X2015年6月3号河北工业大学目录1、研究背景 (3)2、仿真系统模型的建立 (4)2.1被动悬架模型的建立 (4)2.2主动悬架模型的建立 (5)3、LQG控制器设计 (6)4、仿真输出与分析 (7)4.1仿真的输出 (7)4.2仿真结果分析 (9)5、总结 (10)附录：MATLAB程序源代码 (11)（一）主动悬架车辆模型 (11)（二）被动悬架车辆模型 (12)（三）均方根函数 (13)1、研究背景汽车悬架系统由弹性元件、导向元件和减振器组成,是车身与车轴之间连接的所有组合体零件的总称,也是车架(或承载式车身)与车桥(或车轮)之间一切力传递装置的总称,其主要功能是使车轮与地面有很好的附着性,使车轮动载变化较小,以保证车辆有良好的安全性,缓和路面不平的冲击,使汽车行驶平顺,乘坐舒适,在车轮跳动时,使车轮定位参数变化较小,保证车辆具有良好的操纵稳定性。

(a)被动悬架系统(b)半主动悬架系统(c)主动悬架系统图1 悬架系统汽车的悬架种类从控制力学的角度大致可以分为被动悬架、半主动悬架、主动悬架3种（如图1所示）。

目前,大部分汽车使用被动悬架,这种悬架在路面不平或汽车转弯时,都会受到冲击,从而引起变形,这时弹簧起到了减缓冲击的作用,同时弹簧释放能量时,产生振动。

为了衰减这种振动,在悬架上采用了减振器,这种悬架作用是外力引起的,所以称为被动悬架。

半主动悬架由可控的阻尼及弹性元件组成,悬架的参数在一定范围内可以任意调节。

主动悬架是在控制环节中安装了能够产生上下移动力的装置,执行元件针对外力的作用产生一个力来主动控制车身的移动和车轮受到的载荷,即路面的反作用力。

随着电控技术的发展，微处理器在车辆中的应用已经日趋普遍,再加上作动器、可调减振器和变刚度弹簧等重大技术的突破,使人们更加注对主动悬架系统的研究。

车辆悬架的特性可以从车身垂直加速度,悬架动行程以及轮胎动位移来研究。

本文对主动悬架采用LQG最优设计策略,利用MATLAB/Simulink软件进行仿真,分别对被动悬架与主动悬架建立动力学模型,并对两种悬架的仿真结果做了详细的比较分析与说明。

2、仿真系统模型的建立2.1被动悬架模型的建立根据牛顿运动定律，利用1/4车辆模型特性，建立被动悬架1/4车辆的动力学模型。

其中m b 代表车身质量（kg ），m w 代表车轮质量（kg ），x b 代表车身位移（m ），x w 代表车轮位移（m ），K s 代表悬架弹簧刚度（N/m ），K t 代表轮胎刚度（N/m ），C s 代表悬架阻尼（N ·s/m ），x g 代表路面位移（m ），b x 代表车身加速度（m/s 2），w x 代表车轮速度（m/s ），w x 代表车轮加速度（m/s ）。

图2为被动悬架单轮车辆模型，其微分方程为：()()b b s b w s b w m x K x x C x x =----（1） ()()()w w s b w t g w s b w m x K x x K x x C x x =-+-+-（2）图2 1/4车辆被动悬架模型引用路面输入模型为：002()2)g g x f x t G uw t π=-+（3）式中：f 0为下截止频率（Hz ）；G 0为路面不平度系数（m 3/cycle ），v 0为前进车速（m/s ）；w 为数字期望为零的高斯白噪声。

选取状态变量为：[ ]T b w b w g X x x x x x =，结合式（1）、式（2）、式（3），将系统运动方程及路面激励写成矩阵形式，得出系统空间状态方程：X AX BU FW =++（4）式中，A 为状态矩阵；F 为输入矩阵；W=（w （t ）），为高斯白噪声输入矩阵。

其值如下：001000001000002ss s s b b bb s s st st ww w ww C C K K mm m m C C K K K K m m m m m A f π⎛⎫-- ⎪⎪⎪--- ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭；000002F G u π⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

将车身加速度、悬架动行程、轮胎动位移作为性能指标：Y=[b x ()b w x x - ()w g x x -]T 。

则可将性能指标写成状态变量及输入信号的线性组合形式：Y CX = （5）式中，C 为输入矩阵：1000001000001000001000001C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

2.2主动悬架模型的建立同理，运用牛顿运动定律，利用1/4车辆模型特性，建立一个具有主动悬架1/4车辆的动力学模型。

其中U s 为作动力控制力。

图3为主动悬架单轮车辆模型。

图3 1/4车辆主动悬架模型其微分方程为：()()b b a s b w s b w m x U K x x C x x =----（6） ()()()w w a s b w t g w s b w m x U K x x K x x C x x =-+---+-（7）整理为状态方程：X AX BU FW =++（8） Y CX DU =+（9）式中：U 为作动器控制内矩阵；B ，D 为新增输入矩阵。

其值为：11[000]b w B m m --=-;[00000]D =。

3、LQG 控制器设计车辆悬架设计中的主要性能指标包括：代表轮胎接地性的轮胎动载荷；代表乘坐舒适性的车身垂向振动加速度；影响车身姿态且与结构设计和布置有关的悬架动行程。

因此，LQG 控制器设计中的性能指标J 即为轮胎动位移、悬架动行程和车身垂向振动加速度的加权平方和在时域T 内的积分值，其表达式为：{}22212301lim[()()][()()]()T w g b w b T J q x t x t q x t x t q x t dt T →∞=-+-+⎰ （10） 式中，q1、q2和q3分别为轮胎动位移、悬架动行程和车身垂向振动加速度的加权系数。

将性能指标J 的表达式（8）改写成矩阵形式：()01lim 2T TT T T J X QX U RU X NU dt T →∞=++⎰（11）式中，Q 对应于状态变量的权重矩阵；R 为约束输入信号大小的权重矩阵；N 为耦合项。

222222222121221100000000000000000s s b b s s bbK K q q m m Q K K q q q q m m q q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪=⎪ ⎪ ⎪--++- ⎪ ⎪-⎝⎭；21b R m =；20010s b s N K m K ⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

当车辆参数值和加权系数值确定后，最优控制反馈增益矩阵可由黎卡提（Riccati ）方程求出，其形式如下：1()()0T T T PA A P PB N R B P N Q -+-+++= （12）最优控制反馈增益矩阵T T K B P N =+，由车辆参数和加权系数决定。

根据任意时刻的反馈变量X(t),就可得出t 时刻作动器的最优控制力a U ，即：()()a U t KX t =-（13）4、仿真输出与分析4.1仿真的输出选择某轿车的后悬架作为相关计算参数：mb=320 kg ，mw=40 kg ，Kt=200 kN/m ，悬架工作空间SWSC=±100 mm ，G0=5 cm3/cycle ，u=20 m/s ，f0=0.1Hz ，q1=80000，q2=5，q3=1，主动悬架Ks=20 kN/m ，Cs=0 N ·s/m ，被动悬架Ks=22 kN/m ，Cs=1 kN ·s/m 。

仿真计算中以式（3）所示的滤波白噪声作为路面输入模型。

白噪声的生成可直接调用MATLAB 函数WGN （M ，N ，P ），其中M 为生成矩阵的行数，N 为列数，P 为白噪声的功率（单位dB ）。

仿真计算中取一条白噪声，共10001个采样点，噪声强度为20dB （M=10001，N=1，P=20）。

设定采样时间为0.005s 、车速为20m/s 时，仿真路面长度为1km ，仿真时间为50s 。

根据所建立的系统状态方程式（4）、（8）及最优性能指标函数式（11），利用已知的矩阵A 、B 、Q 、R 、N ，调用MATLAB 中的线性二次最优控制设计函数[K ，S ，E]=LQR （A ，B ，Q ，R ，N ），即可完成最优主动悬架控制器的设计。

输出的结果中，K 为最优控制反馈增益矩阵，S 为黎卡提方程的解，E 为系统闭环特征根。

带入仿真输入参数，可求得最优反馈增益矩阵K 为：K=（711.88-1241.5 -19284 -2038.5 20864）黎卡提方程的解为：2.45590.0289 2.47458.66077.3090.02890.48860.02987.52627.23642.47450.0298 4.97448.6754 5.10338.66077.52628.67542710.12700.47.3097.23645.10332700.42693.7S -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭。

在Simulink 环境下建立的最优主动悬架车辆仿真模型框图如图4所示。

LQG 主动悬架系统和被动悬架系统的时域仿真结果分别如如图5、图6所示，包括路面位移输入x g （t ）、悬架动行程SWS （t ）、轮胎动位移DTD （t ）及车身加速度BA （t ）。

图4 Simulink 环境系统仿真框图图5 在某路面输入下的最优主动悬架仿真结果B A /(m /s 2)S W S /mD T D /mx g /m时间/s图6 在某路面输入下的最优被动悬架仿真结果计算得出的两个不同系统的性能指标均方根值如表1所示。

表1 主动悬架与被动悬架性能指标均方根值的比较性能指标单位 主动悬架均方根值 被动悬架均方根值 车身加速度 BA m/s 2 1.4128 1.7828 悬架动行程 SWS mm 32.3 17.7 轮胎动位移 DTD mm5.86.04.2仿真结果分析比较图5、图6可得，车身垂直加速度在1~2s 内，主动悬架车辆和被动悬架车辆的垂直加速度相差不大；随着时间的变化，被动悬架的车身垂直加速度比主动悬架的加速度越来越大，垂直加速度越大，车辆的舒适性越差。

主动悬架的轮胎动位移始终控制在-2~2mm 之间，时间/s B A /(m /s 2)S W S /mD T D /mx g /m而被动悬架的动位移很大，动位移越大，车辆的舒适性越差。

悬架动行程在0~1s内，车辆悬架的动行程相差不大，但是随着时间的推移，主动悬架的车辆的动行程波动较小，比被动悬架车辆的舒适性好。