即 : y0z0 x x0z0 y x0 y0z 3 0
x y z 1
的向量均可作为切线的方向向量, 如
{dx, dy, dz} | M 等. 0
2. 若曲线方程为 y=y(x)，z=z(x),则可把 x 看成
参数而 得方向向量
{1,
y(
x 0
),
z( x 0
)}
例1. 求两个抛物柱面 y=6x2,z=12x2 相交成的空 间曲线在x=1/2 处的切线与法平面方程。
0 0
dx
dx
dx dx
把M 0代 入 得
233dddyxy
2 2
dz
dx dz
0 0
dy dx
5
4
,
dz dx
7 8
dx dx
dy dz {1, , } | || {8, 10, 7}
dx dx M0 可取方向向量为{8, 10, 7}
切线方程为:
x1 y1 z2 8 10 7
法平面方程为: 8( x 1) 10( y 1) 7(z 2) 0
x(t ), y(t ), z(t )可微.
对应 t t0 与 t0 t 曲线上的两点为
M 0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x0 x, y0 y, z0 z),
则 割 线M0 M的 方 程 为
x x y y zz
0
0
0
x
y
z

x x0 y y0 z z0 x t y t z t
2 21
x 1 t, y 1 t, z 1 t 满足曲面方程
4
2
2
4 1 t2 2 1 t2 1 t2 t2 4
16
44
t 2, 于 是 P 点 坐 标 为( 1 , 1, 1 ) 2
例 4.设F（u，v)可微，证明 曲面
F（cx-az, cy- bz)=0上 任一点的法向量垂直于一 常向量。
证 明:设G( x, y, z) F (cx az, cy bz)
任 一 点 处 法 向 量 为:
n {Gx,Gy,Gz} {cFu, cFv, aFu bFv}
显 然 有:
n {a, b, c}
acFu bcFv acFu bcFv 0
任一点的法线总垂直于常向量 {a, b, c}。
)
Fz( M 0
) z ( t 0
)
0
记
n
{Fx(
M
0
),
Fy(
M
0
),
Fz(
M
0
)},
a {x(t ), y(t ), z(t )}
0
0
0
na 0
过M 的任一位于曲面上的曲线在M 的切线 均 与n0垂 直,因而这些切线均位于以n0为法向
量的平面内,此平面即为 在M 的切平面, 0
故切平面方程为:
第六节 微分法的几何应用
1. 空间曲线的切线与法平面：
定义6.1
设为一空间曲线，M0 , M .当点M沿
曲
线趋
向
于M
时
0
，
割
线M
0
M的
极
限
位
置M0T称为曲 线在 点M0处的切 线，过点
M
且
0
与
切
线M
0T垂
直
的
平
面
称
为在
点M
0
处的法平面。
设曲线方程为：
x y
x(t ) y(t )
(t为参数)
z z(t )
令t 0( M M0 ), 得曲线
z
M
在点M0处的切线方程为
xx y y zz
0
0
0
x(t ) y(t ) z(t )
0
0
0
M0
0
y
x
M0处的法平面方程为：
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
注：1. 只要与{ x(t 0), y(t 0), z(t 0)}成比例
Fx(M 0
)( x
x 0
)
Fy(M 0
)(
y
y 0
)
Fz(M 0
)( z
z 0
)
0
M 处的法线方程为: 0
xx y y zz
0
0
0
Fx( M 0 ) Fy( M 0 ) Fz( M 0 )
特别, 若 的方程为: z f ( x, y)
则令 F(x, y, z) f (x, y) z
即得切平面的法向量
例 5. 证明曲面 xyz=1 在任一点的切平面与三个 坐标面 所围成的体积是一个常数。
证 设F ( x, y, z) xy z 1 Fx yz, Fy xz, Fz xy,
过 曲 面 上 任一 点( x0 , y0 , z0 )的 切 平 面 方程 为: y0z0(x x0 ) x0z0( y y0 ) x0 y0(z z0 ) 0
三个偏
导数不全为0,
M0
(
x 0
,
y 0
,
z 0
)
为
上一点,
任取曲面 上过点M0 的光滑曲线
x x(t)
:
y
y(t )
z z(t )
t t0 M0,
在 上 F( x(t), y(t), z(t) ) 0
则
dF dt |tt0
Fx( M 0
) x(t 0
)
Fy( M 0
) y(t 0
例2. 求曲线
2 x 2 3 y 2 z 2 9
z2 3x2 y2
在点 M0 (1, 1, 2 ) 处的切线与法平面方程。
解:把 y, z 作为 x 的函数，两边对 x求导,得
4
x 2z
6y dz
dy dx 6
x
2z dz dx
2 y dy
0 ,
23xx3yydddyxy zzdddzxz
即 : 8x 10 y 7z 12 0
2. 空间曲面的切平面与法线：
切平面
定义6.2：若曲面上过点 M0 的任意一条光滑曲线 在该点的切线都在同一个平面上，则称此平面为
曲面在M0 处的切平面，过M0且与切平面垂直的 直线称为曲面在M0 的法线。
设曲面 : F( x, y, z) 0,其中F( x, y, z)可微, 且
解： 曲线参数方程为：
xt
y
6t 2
z 12t 2
则： x 1
y 12 t
z 24 t
zxy(((121212)))1612
13 M 0( , , 3)
22
切线方程为
x
1 2
y
3 2
z3
1
6 12
法平面方程为
( x 1 ) 6( y 3 ) 12(z 3) 0
2
2
即 : x 6 y 12z 91 0 2
n{
f
x(M
),
f
y (M
), 1 }
0
0
例3.已知曲面 4x 2 2 y 2 z 2 4 上点P 处 的切平 面平行于平面 2x 2 y z 5 0,求P点坐标。
解：
F 4x 2 2 y 2 z 2 4; Fx 8x, Fy 4 y, Fz 2z; { 8 x, 4 y, 2 z} || {2, 2,1} 8x 4 y 2z t;