第一章 质点运动学1．已知一质点的运动方程为22(2)r ti t j =+-（SI 制）。

(1) 求出1t s =，和2t s =时质点的位矢； (2) 求出1s 末和2s 末的速度； (3) 求出加速度。

解：（1）1t s =时 12r i j =+ ，2t s =时 242r i j =-（2）质点的运动的速度22dr v i t j dt==-：1t s =时 122v i j =- ，2t s =时 224v i j =- （3）质点运动的加速度2dv a j dt==-2.一质点沿y 轴作直线运动，其速度大小283y v t =+，单位为SI 制。

质点的初始位置在y 轴正方向10m 处，试求：（1）2t s =时,质点的加速度；（2）质点的运动方程。

解：根据题意可知，0t s =时，108m s v -=，010m y = （1）质点在2t s =时的加速度y a 为2612msy y dv a t dt-===（2）质点的运动方程y 为y dy v dt =，两边积分210(83)ytdy t dt =+⎰⎰，因此 3108y t t =++3.某质点在xoy 平面上作加速运动，加速度232(m /s )a i j =+ 。

在零时刻的速度为零，位置矢量05m r i =。

试求：（1） t 时刻的速度和位矢；（2） 质点在平面上的轨迹方程。

解：（1）t 时刻的速度v 为(32)dv adt i j dt ==+，积分得 0(32)vtdv i j dt =+⎰⎰因此 1(32)m sv ti tj -=+； t 时刻的位矢r 为(32)dr vdt ti tj dt ==+积分得00(32)rtr dr ti tj dt =+⎰⎰ ，因此2222013(32)(5)22r r t i t j t i t j =++=++（2）由r 的表达式可得质点的运动方程22352x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去两式中的t ，便得轨迹方程 21033y x =-4.一汽艇以速率0v 沿直线行驶。

发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度v 成正比且方向相反的加速度a kv =-，其中k 为常数。

求发动机关闭后，（1） 在时刻t 汽艇的速度；（2） 汽艇能滑行的距离。

解：本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。

（1）因为dv a kv dt==-， 可得kdt vdv -=，所以⎰⎰-=tvv kdtvdv 0，积分得 kt v v -=0ln，即：ktev v -=0（2）因为dv dv ds dv vkv dtds dtds===-，所以 000sv dv k ds =-⎰⎰，0v ks =发动机关闭后汽艇能滑行的距离为0v s k=。

如利用ds vdt =进行计算，t 的积分上下限取∞与0，可得同样结果。

想一想其合理性。

5.一物体沿X 轴作直线运动，其加速度2a kv =-，k 是常数。

在0t =时，0v v =，0x =。

（1）求速率随坐标变化的规律；（2）求坐标和速率随时间变化的规律。

解：本题注意变量变换。

（1）因为2dv dv dx dv a vkv dtdx dtdx====-，所以 0v xv dv k dx v=-⎰⎰得0ln v kx v =-，即 0kxv v e -=（2）因为2dv a kv dt==-，所以02vtv dv kdt v=-⎰⎰可得 00/(1)v vv kt =+又因为 dx v dt=，所以0001x t t v dx vdt dt v kt ==+⎰⎰⎰，可得 01ln(1)x v kt k=+6.已知质点作半径为0.10m R =的圆周运动，其角位置与时间的关系为324t θ=+(其中θ的单位为rad ，t 的单位为s )。

试求：（1）当2t s =时，角速度ω和角加速度；（2）当2t s =时，切向加速度t a 和法向加速度n a 。

解：（1）质点的角速度及角加速度为212d t dtθω==，24d t dtωα==当2t s =时， 21112248rad s rad s ω--=⨯= ， 2224248rad s rad s α--=⨯=（2）质点的切向加速度和法向加速度为24t a R Rt α==，24144n a R Rt ω==当2t s =时，22240.12 4.8t a R m sm sα--==⨯⨯=4221440.12230.4n a m sm s --=⨯⨯=7．一球以30m.s -1的速度水平抛出，试求5s 钟后加速度的切向分量和法向分量。

解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为 2021 gt y t v x ==将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为gtgt dtd dtdy v v t v dt d dt dx v y x ======)21()(200因而小球在t 时刻速度的大小为22022)(gt v v v v y x +=+=故小球在t 时刻切向加速度的大小为2t dv a dt===由因为小球作加速度a =g 的抛体运动，所以在任意时刻，它的切向加速度与法向加速度满足：τa a g n+=且互相垂直。

由三角形的关系，可求得法向加速度为：22022)(gt v gv a ga n +=-=τ代入数据，得228.36ta m S-==⋅，22212.5)58.9(30308.9-⋅=⨯+⨯=Sm a n在计算法向加速度时，可以先写出它的轨迹方程，再算出曲率半径和速度大小，最后算出法向加速度。

但是这样计算是相当复杂的。

在本题中，已经知道总的加速度和切向加速度，可以利用它们三者之间的关系求解。

8．如图所示，一卷扬机的鼓轮自静止开始作匀角加速度转动，水平绞索上的A 点经3s 后到达鼓轮边缘B 点处。

已知45.0=AB m ，鼓轮的半径为5.0=R m 。

求A 到达最低点C 时的速度与加速度。

解：A 点的加速度也为卷扬机边缘的切向加速度t a ，由2221t a S t=以及AB S =可得：10.022==tSa t m.s -2 设到达最低点的速度为v ， 于是 ：()636.022=+='=R S a S a v t t π m.s -1方向为沿点C 的切向方向向左。

808.02==Rva n m.s -2841.022=+=n t a a a m.s -2，7582'== tn a aarctg θ9．一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m 的圆形轨道运动。

此质点的角速度与运动的时间的平方成正比，即2Kt =ω（SI 制）。

式中K 为常数。

已知质点在第2秒末的线速度为32m/s ，试求0.50s 时质点的线速度和加速度。

解：由已知322242232-=⨯===sRtv tK ω， 所以24t =ω，24RtR v ==ω当s t 50.0=， 242==Rtv m/s ，88===Rt dtdv a t m/s 2， 22222===Rva n m/s 225.8282222=+=+=n t a a a m/s 2，6.1325.82tantan11===--aa n θ10．一无风的雨天，以20m.s -1匀速前进的汽车中一乘客看见窗外雨滴和垂线成75角下降。

求雨滴下落的速度。

（设雨滴看作匀速下降）解：十分简单的一个相对运动问题。

分清合速度和分速度即可。

21v v v += 36.512==tg75v v m.s -111．当风以130m s -⋅的速率由西吹向正东方向时，相对于地面，向东、向西和向北传播的声音的速率各是多大？（已知声音在空气中传播的速率为1344m s -⋅。

） 解：已知风的速率为 1130m sv -=⋅，声音在空气中的速率为12344m sv -=⋅，则向东传播的声音的速率为：1112(30344)m s 374m sE v v v --=+=+⋅=⋅向西传播的声音的速率为：1121(34430)m s 314m sW v v v --=-=-⋅=⋅向北传播的声音的速率为：11s343m s N v --==⋅=⋅。