第7讲 抛物线板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p2－2＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 A解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.故选A.3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2， 5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.4．[2018·运城模拟]已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . 5．已知直线ax ＋y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，点F 在直线ax ＋y ＋1＝0上，∴a ＋1＝0，即a ＝－1，∴直线方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.设直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.6．[2018·郑州模拟]已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，若|AF |＋|BF |＝5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案 94解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝5，即x 1＋14＋x 2＋14＝5，解得x 1＋x 2＝92，所以线段AB 的中点到y 轴的距离x 1＋x 22＝94.7．[2017·河北六校模拟]抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上． 又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2.又由题意可知x M ＝p 4，∴p4＝6－p2，解得p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝16x .8．[2017·天津高考]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1.由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3，所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.9.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点D.(1)若点O到直线l的距离为32，求直线l的方程；(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．解(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以|－k|1＋k2＝32，解得k＝± 3.即直线l的方程为y＝±3(x－1)．(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y20＝4x0.因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得，x ＝2x 0yy 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线C 相切．10．[2018·湖南模拟]已知过A (0,2)的动圆恒与x 轴相切，设切点为B ，AC 是该圆的直径．(1)求C 点轨迹E 的方程；(2)当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证：△PQC 恒为直角三角形．解 (1)设C (x ，y )，A (0,2)，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y ＋22，又因为圆与x 轴切于B 点，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，圆的半径为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋22. 根据AC 是圆的直径得，|AC |＝|y ＋2|， 即x 2＋y －22＝|y ＋2|，两边平方整理得x 2＝8y ，所以C 点的轨迹E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：设AC 所在直线的方程为y ＝kx ＋2， 与曲线E 联立得x 2－8kx －16＝0， 设C (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝－16. 曲线E ：x 2＝8y 在点P (x 2，y 2)处切线的斜率为k 1＝x 4| x ＝x 2＝x 24，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，直线BC 的斜率为k 2＝y 1x 1－x 12＝x 218x 12＝x 14， 所以k 1·k 2 ＝x 24×x 14＝x 1x 216＝－1616＝－1，所以PQ ⊥BC ，即△PQC 为直角三角形．[B 级 知能提升]1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.2．[2018·安徽模拟]过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 答案 C解析 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.3．[2017·山东高考]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 4．设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λPA →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解 (1)知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 坐标为(x p ，y p )， 切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理l 2：y ＝－14x －1，联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝－2，y p ＝－12，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1，由PM →＝λPA →＋μPB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝⎛⎭⎪⎫6，－32，即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝y 0＋229，μ＝y 0－129，则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.5．[2018·合肥模拟]已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2.F 1F 2→·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴C 2的方程为x 2＝4y .(2)设过点O 的直线为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)(k <0)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫4k2－4k ，点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝21－k1－k3k 2＝21－k21＋k ＋k2k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k－2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k＋1. 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2时，S △PMN 有最小值8，此时k ＝－1.即当过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.。