优质资料---欢迎下载分段函数问题的解答方法所谓分段函数是指函数的定义域分为几段，且每一段的解析式又不一样的函数。

归结起来分段函数问题主要包括：①分段函数解析式的求法；②求分段函数值的基本方法；③分段函数值域与最值的求法；④分段函数单调性的判断（或证明）；⑤分段函数奇偶性的判断（或证明）等几种类型。

各种类型问题的结构具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。

那么在实际解答分段函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题：1、 某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远处的B 地，在B 地停留1 12小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行走的路程S 表示成时间t 的函数；【解析】【知识点】①行驶问题的结构特征；②行驶问题中涉及的基本量及其关系；③解答行驶问题的基本思路与方法；④求函数解析式的基本方法。

【解题思路】问题是行驶问题，行驶问题的基本量包括行驶速度，行驶时间和行驶路程，这三个基本量的关系为，行驶路程=行驶速度⨯行驶时间；根据题意，问题中包含三个行驶过程：①从A 地出发到达B 地；②在B 地停留；③从B 地返回A 地，根据行驶路程=行驶速度⨯行驶时间分别求出三个过程行驶路程与时间的关系式就可得出结果。

【详细解答】问题中包含三个行驶过程： 52t ， 0<t ≤5，①从A 地出发到达B 地，S=52t ；②在B 地 ∴ S= 260， 5<t ≤132， 停留,S=260；③从B 地返回A 地,S=65(t-612)； 65（t-132）, 132<t ≤212， 2、已知f(x)=2x-1， g(x)= 2x ，（x ≥0），-1 ， (x ＜0)。

①求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕；【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。

【解题思路】f 〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)又是一个分段函数，从而得到f 〔g(x)〕也是一个分段函数，且自变量的分段与g(x)的分段一致，从而得到函数f 〔g(x)〕的解析式； g 〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由g(x)是分段函数，需先确定2x-1≥0和2x-1＜0中x 的取值范围，从而得到函数 g 〔f(x)〕的解析式；【详细解答】 f(x)=2x-1， ∴f 〔g(x)〕= 22x -1，（x ≥0），g 〔f(x)〕= 2(21)x -，x ≥12， g(x)= 2x ，（x ≥0）， -3， (x ＜0)， -1， x ＜12； -1 ， (x ＜0），3、已知f(x)= ln(x+1)，（x ＞-1）， g(x)=-x+2。

11()2x -，（x ≤-1），① 求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕。

【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。

【解题思路】f 〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)的函数值需满足-x+2＞-1或-x+2≤-1，且自变量的分段为x ＜3或x ≥3，从而得到函数 f 〔g(x)〕的解析式；g 〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由f(x)是分段函数，得到g 〔f(x)〕也是一个分段函数，自变量的分段与f(x)的分段一致，从而得到函数 g 〔f(x)〕的解析式。

【详细解答】 g(x)=-x+2，f(x)= ln(x+1)，（x ＞-1），∴f 〔g(x)〕= ，（x ＜3），-ln(x+1)+2，（x ＞-1）， 11()2x -，（x ≤-1）， 11()2x -+，（x ≥3）； g 〔f(x)〕=- 11()2x -+2，（x ≤-1）；『思考问题1』（1）【典例1】是求分段函数解析式的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，掌握分段函数的性质和求函数解析式的基本方法；（2）【典例1】中1题是应用问题，解答时只需分辨清楚应用问题的类型，结合该类应用问题解答的基本方法就可求出结果；（3）【典例1】中2，3两题是求复合函数f(g(x))（或g 〔f(x)〕）解析式的问题，这类问题的特点是：①已知两个函数的解析式，其中一个函数是分段函数；② 求复合函数的解析式，涉及到确定自变量属于哪一段的问题；解答的基本思路是整体代入，由分段函数各段的定义域确定出分段函数中自变量x 的取值范围，再求复合函数的解析式。

〔练习1〕解答下列问题：1、函数f(x)=〔x 〕的函数值表示不超过x 的最大整数，例如〔-3.5〕=-4，,〔2.1〕=2，当x ∈（-2.5,3〕时，写出函数f(x)的解析式，并画出函数的图像；2、已知f(x)=3x-6， 2x +x （x ≥0）g(x)=1 (x ＜0)①求f 〔g(x)〕， ②求g 〔f(x)〕；3、已知f(x)= 2x-1，g(x)= 2x -3x+2，求f 〔g(x)〕。

【典例2】解答下列问题：1、设函数f(x)= 2x +1，x ≤1，则f(f(3))=（ ）A 15 2x ，x ＞1，B 3C 23D 139【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。

【解题思路】根据自变量3，确定求函数值的解析式，并求出f(3)的函数值，把求出的结果作为自变量，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。

【详细解答】3>1，∴ f(3)= 23，23≤1，∴ f(23)=49+1=139，⇒ f(f(3))= 139，⇒ D 正确，∴选D 。

2、设函数f(x)= 3x-1，x ＜1，则满足f(f(a))= ()2f a ，的a 的取值范围是（ ）2x ，x ≥1，A ［23，1］B ［0，1］C ［23，+∞） D ［1，+∞） 【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③指数函数的定义与性质；④参数分类讨论的原则与方法。

【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，应该从a ≥1和a<1两种情况考虑去解答问题。

【详细解答】①当a ≥1时，f(a)= 2a >1，∴f(f(a))= 22a=()2f a ；②当a<1时，f(a)=3a-1，∴若3a-1≥1，即a ≥23时，f(f(a))= 312a -=()2f a ，若3a-1<1，即a<23时，f(f(a))=3（3a-1）-1=9a-4≠312a -≠()2f a ；∴当f(f(a))= ()2f a 时，实数a 的取值范围是[23，+∞）。

3、已知函数f(x)= f(x+1) ，x ＜4，求f(2+2log 3)的值；1()2x ，x ≥4，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③对数的定义与性质。

【解题思路】根据对数的性质可知，3<2+2log 3<4，确定求函数值的解析式，并求出f(2+2log 3)的函数值，把求出的结果作为自变量，由4<3+2log 3<5，确定求函数值的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出结果。

【详细解答】3<,2+2log 3<4，∴ f(2+2log 3)= f(2+2log 3+1)= f(3+2log 3)，4<3+2log 3<5，∴ f(3+2log 3)= 23log 312+（）= 2log 242-= 12log 242-= 124，∴ f(2+2log 3)=f(3+2log 3)=124。

4、已知函数f(x)= 2x +1，x ≥0，若f(x)=10，则x= ；-2x ，x ＜0，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。

【解题思路】这里是已知f(x)的函数值，求自变量的问题，现在是自变量未知，需要从x<0和x ≥0两种情况分别考虑去解答问题。

【详细解答】①当x<0时， f(x)= -2x=10，∴ x=-5；②当x ≥0时， f(x)= 2x +1=10， ∴ x=3；∴当f(x)=10时，x=-5或x=3。

5、已知实数a ≠0，函数f(x)= 2x+a ，x ＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a 的值为 ； -x-2a ，x ≥1，【解析】【知识点】①分段函数的定义与性质；②求函数值的基本方法；③参数分类讨论的基本原则和基本方法；【解题思路】运用分段函数的性质和求函数值的基本方法，结合问题条件，根据a ≠0，应该从a>0和a<0两种情况考虑去解答问题。

【详细解答】①当a>0时，1-a<1，1+a>1，∴ f(1-a)=2（1-a ）+a=2-a ，f(1+a)=-（1+a ）-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，∴2-a=-3a-1，⇒a=-32<0，⇒此时无解；②当a<0时，1-a>1，1+a<1，∴ f(1-a)=-（1-a ）-2a=-1-a ，f(1+a)=2（1+a ）+a=3a+2， f(1-a)=f(1+a)，∴-1-a=-3a+2，⇒a=- 34<0，∴当a ≠0，f(1-a)=f(1+a)时，a=- 34。

6、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时期段进行分别计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表高峰月用电量 高峰电价 低谷月用电量 低谷电价（单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时） （单位：千瓦时） （单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）【解析】【知识点】①求函数解析式的基本方法；②分段函数的定义与性质；③求函数值的基本方法。

【解题思路】设该家庭高峰时间段的用电量为1x 千瓦时，应付电费为1y ，低谷时间段的用电量为2x 千瓦时，应付电费为2y ，该家庭本月应付的电费为y 元，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件分别求出1y ，2y 的解析式，利用求函数值的基本方法求出1y ，2y 的值，从而求出y 的值。

【详细解答】设该家庭高峰时间段的用电量为1x 千瓦时，应付电费为1y ，低谷时间段的用电量为2x 千瓦时，应付电费为2y ，该家庭本月应付的电费为y 元，由题意可得： 0.5681x ， 0＜1x ≤50， 0.2882x ， 0＜2x ≤50， 1y = 28.40+0.598（1x -50），50＜1x ≤250， 2y = 14.40+0.318（2x -50），50＜2x ≤250， 148.00+0.668（1x -250），1x ＞250， 78.00+0.3888（2x -250），2x ＞250，∴y=1y +2y =28.40+0.598⨯150+14.40+0.318⨯50=148.40（元）；『思考问题2』（1）【典例2】是分段函数求值的问题，解答这类问题需要理解分段函数的定义，注意分段函数的结构特征，掌握分段函数求值的基本方法；（2）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果。